スカラー場の線積分
スカラー場の線積分
スカラー場 $ F に対して、
定義域上の曲線$ Cが$ \bm x(t),\ t\in\lbrack a,b\rbrackのようにパラメータ表示されている
この時、積分$ I=\int_a^bF(\bm x(t))\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|{\rm d}tを
曲線$ Cに沿ったスカラー場$ Fの線積分という
ここで、$ Cの新しいパラメータ表示$ t(\tau)を導入して、$ \bm x\circ t(\tau),\ \tau\in\lbrack\alpha,\beta\rbrackとする
曲線$ Cに沿ったスカラー場$ Fの線積分は以下のように書ける
$ J=\int_\alpha^\beta F(\bm x\circ t(\tau))\left\|\frac{{\rm d\bm x}}{{\rm d}\tau}\right\|{\rm d}\tau
ここで、$ \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}>0のとき、
$ J=\int_\alpha^\beta F\circ\bm x\circ t(\tau)\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}\tau}\right\|{\rm d}\tau
$ =\int_\alpha^\beta F\circ\bm x\circ t(\tau)\left\|\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|{\rm d}\tau
$ =\int_\alpha^\beta F\circ\bm x\circ t(\tau)\left|\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\right|\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|{\rm d}\tau$ \qquad\becauseノルムの斉次性
$ =\int_\alpha^\beta F\circ\bm x\circ t(\tau)\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|{\rm d}\tau$ \qquad\because\frac{{\rm d}t}{\rm d\tau}>0
$ =\int_\alpha^\beta F\circ\bm x\circ t(\tau)\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|\frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau}{\rm d}\tau$ \quad\becauseスカラー積の可換性
$ =\int_a^b F\circ\bm x(t)\left\|\frac{{\rm d}\bm x}{{\rm d}t}\right\|{\rm d}t
$ I
よって、曲線$ Cの向きがパラメータによって変わらないのであれば、パラメータの取り方によらずに線積分の値は一致する
そこで線素$ {\rm d}sを$ {\rm d}s=\|{\rm d}\bm x\|として定義し、 スカラー場の線積分を$ \int_C F{\rm d}sと表記する
特に$ Cの始点と終点が一致するとき、（$ Cが閉曲線の時）はそのことを強調して
$ \oint_C F{\rm d}sとも表記する。
例えば解析的な関数$ Fの内側に極を含まない閉曲線$ Cに沿った線積分は
$ \oint_C F{\rm d}s=0