ベーシック圏論6章2節
読んだ内容を軽くまとめます.
関手圏$ \lbrack\mathscr{A, B}\rbrackにおける極限や余極限はどのように見えるのだろうか?特に、前層の圏$ \lbrack \mathscr A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackではどうだろうか?表現可能関手の極限や余極限とはなんだろうか?それらもまた表現可能なのだろうか?
この章ではこういった疑問に答えていく
表現可能関手は極限を保存する
積の定義を思い出すと射$ A\to X\times Yは射の組$ (A\to X, A\to Y)と同一のものだった。ゆえに、$ A, X, Y\in\mathscr Aについて自然な全単射
$ \mathscr A(A, X\times Y)\cong \mathscr A(A, X)\times \mathscr A(A, Y)
が存在する。上の同型は表現可能関手が積を保存していることを意味している。
イコライザに対しても同じようなことが起こる。そして実際、表現可能関手は極限を保存する。
錐関手は表現後の極限
$ \mathbf Iを小圏、$ \mathscr Aを locally small な圏、$ D:\mathbf I\to \mathscr Aを図式、$ A\in \mathscr Aとする。$ \mathscr A(A, D):\mathbf I\to \mathbf{Set}を$ \mathscr{A}(A, D) = \mathscr A(A, D(-)) = \mathscr A(A, -)\circ Dで定義する。このとき$ Aと$ Dについて自然に
$ \mathrm{Cone}(A, D)\cong \lim_\leftarrow \mathscr A(A, D)。
(証明)
$ \mathscr A(A, D)は$ \mathbf{Set}における図式であるから、その極限が存在する。$ \mathbf{Set}における極限なので、それは射の族$ (f_I)_{I\in\mathbf I}であって全ての$ I\in\mathbf Iに対して$ f_I\in\mathscr A(A, D(I))かつ
全ての$ \mathbf Iにおける$ I\xrightarrow{u}Jに対して$ (\mathscr A(A, Du))(f_I) = f_J
を満たすものである。ところでこれは$ (Du)\circ f_I = f_Jという主張と同じであるから$ \lim_\leftarrow \mathscr A(A, D)の要素は$ Aを頂点とする$ D上の錐に他ならない。$ \square
表現可能関手は極限を保存する
$ \mathscr Aを locally small な圏とし$ A\in\mathscr Aとする。このとき$ \mathscr A(A, -):\mathscr A\to\mathbf{Set}は極限を保存する。
(証明)
$ \mathbf Iを小圏とし$ D:\mathbf I\to \mathscr Aを極限を持つ図式とする。このとき$ Aについて自然に
$ \mathscr A\left( A, \lim_\leftarrow D \right)\cong \mathrm{Cone}(A, D)\cong \lim_\leftarrow \mathscr A(A, D)。
注意 上の命題から$ \mathscr A\left(A, \lim_\leftarrow D\right) \cong \lim_\leftarrow\mathscr A(A, D)だとわかる。この同型を双対化してみる。そのために$ \mathscr Aのところを$ \mathscr A^\mathrm{op}に置き換えてみると、$ \mathscr A(-, A):\mathscr A^\mathrm{op}\to\mathbf{Set}は極限を保存することが分かる。$ \mathscr A^\mathrm{op}における極限は$ \mathscr Aにおける余極限なので、$ \mathscr A(-, A)は$ \mathscr Aにおける余極限を$ \mathbf{Set}の極限に変換する。すなわち、
$ \mathscr A\left( \lim_{\rightarrow \mathbf I}D, A \right) \cong \lim_{\leftarrow\mathbf I^\mathrm{op}}\mathscr A(D, A).
右辺は余極限でないことに注意。双対化前の同型とも合わせると、どういうわけか$ \mathbf{Set}においては余極限よりも極限の方が多いように見える。
例 $ X, Y, A, X+Y\in \mathscr Aと仮定する。和の定義から射$ X+Y\to Aは射$ (X\to A, Y\to A)と等しい。言い換えれば、標準的な同型
$ \mathscr A(X+Y, A)\cong \mathscr A(X, A)\times \mathscr A(Y, A)
が存在する。
関手圏における極限
評価関手
$ \mathbf A, \mathscr Sを圏とする。このとき$ A\in\mathbf Aに対し関手
$ \begin{aligned} \mathrm{ev}_A:\lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrack \longrightarrow \mathscr S \\ X \longmapsto X(A) \end{aligned}
を$ Aにおける評価(値)という。
また、与えられた図式$ D:\mathbf I\to \lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrackと各$ A\in\mathbf Aに対して
$ \begin{aligned} \mathrm{ev}_A\circ D:\ &\mathbf I\longrightarrow &\mathscr{A} \\ &I\longmapsto &D(I)(A)\end{aligned}
を$ \textcolor{cyan}{D(-)(A)}と表す。
関手圏の極限は各点で計算される
$ \mathbf{A, I}を小圏、$ \mathscr Sを locally small とする。また、図式$ D:\mathbf I\to\lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrackを各$ A\in\mathbf Aに対して図式$ D(-)(A):\mathbf I\to\mathscr Sは極限を持つものとする。このとき$ D上の錐は$ \mathrm{ev}_Aの像の下で$ D(-)(A)の極限錐となる。さらにそのようなものは$ D上の錐は極限錐である。
$ \mathscr Sを$ \mathscr S^\mathrm{op}に置き換えれば、余極限も各点で計算されることが分かる。
(証明)
各$ A\in\mathbf Aに対して$ D(-)(A):\mathbf I\to\mathscr S上の極限錐
$ \left( L(A) \xrightarrow{p_{I, A}} D(I)(A) \right)_{I\in\mathbf I}
をとる。次の2つのことを証明すればよい。
1. $ \left( L\to D(I) \right)_{I\in\mathbf I}が$ D上の錐となるような$ \mathbf A上の関手$ Lへの拡張が唯一つ存在する
2. その錐は極限錐
(1. )$ \mathbf Aの射$ f:A\to A'をとる。図式の変換と極限の 1. を自然変換$ D(-)(f)に適用すると、全ての$ I\in\mathbf Iに対して https://gyazo.com/727738127d0a457ef02c4a54c81e7e29
が可換になるような射$ Lf:L(A)\to L(A')が一意的に存在する。これを$ L(f)の定義とする。
また、$ Lは対象を対象に、射を射に写す。また恒等射を恒等射に写し、合成を分解することは簡単に確認できる。よって関手$ L:\mathbf A\to\mathscr Sを定義することが出来た。さらに、上の図式は変換$ p_I:L\to D(I)が自然であることを示唆している。よって族$ \left( L\xrightarrow{p_I} D(I) \right)_{I\in\mathbf I}は$ \lbrack \mathbf A, \mathscr S\rbrackの射のものであり、$ \left( L(A)\xrightarrow{p_{I, A}} D(I)(A) \right)_{I\in\mathbf I}が$ D(-)(A)上の錐であることから$ \left( L\xrightarrow{p_I} D(I) \right)_{I\in\mathbf I}は$ D上の錐である。
(2. )$ X\in\lbrack\mathbf A,\mathscr S\rbrackとし$ \left(X\xrightarrow{q_I}D(I)\right)_{I\in\mathbf I}を$ D上の錐とする。この錐の$ A\in\mathbf Aにおける値は$ \mathscr Sにおける$ D(-)(A)上の錐である。ゆえに全ての$ I\in\mathbf Iに対して$ p_{I, A}\circ \overline{q_A} = q_{I, A}となる一意的な射$ \overline{q_A}:X(A)\to L(A)が存在する。この射$ \overline{q_A}は図式の変換と極限 2. から$ Aについて自然である。 $ \because$ \left( X(A)\xrightarrow{q_{I, A}}D(I)(A) \right)_{I\in\mathbf I},\ \left( X(A')\xrightarrow{q_{I, A'}}D(I)(A') \right)_{I\in\mathbf I},\ Xf:X(A)\to X(A')に対し、$ q:X\to Dの自然性から
https://gyazo.com/9e0bc61506062c2e63522fc67231f1aa
https://gyazo.com/db7ae2e0ff28cfd6df94e0f2c918fe62
は可換である。よって$ \overline{q_A}は$ Aについて自然である。$ \square
関手圏の完備性と評価の保存性
$ \mathbf{A, I}を小圏、$ \mathscr Sを locally small な圏とする。$ \mathscr Sが全ての$ \mathbf I型極限(あるいは余極限)を持つなら$ \lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrackもそうである。そして各$ A\in\mathbf Aに対し$ \mathrm{ev}_A:\lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrack \to \mathscr Sはそれらを保存する。$ \square
極限は極限と交換可能
次の同型があることを思い出そう。
$ \lbrack\mathbf I, \lbrack \mathbf J, \mathscr S \rbrack\rbrack \cong \lbrack\mathbf I\times \mathbf J, \mathscr S \rbrack \cong \lbrack\mathbf J, \lbrack \mathbf I, \mathscr S \rbrack\rbrack
$ D^\bullet\hspace{1em} \longleftrightarrow\hspace{1em} D\hspace{1em} \longleftrightarrow\hspace{1em} D_\bullet
この図式の同型は極限においても成り立つ。
$ \mathbf{I, J}を小圏、$ \mathscr Sは$ \mathbf I型と$ \mathbf J型極限をもつ locally small な圏とする。このとき全ての$ D:\mathbf I\times\mathbf J\to\mathscr Sに対して
$ \lim_{\leftarrow \mathbf J}\lim_{\leftarrow \mathbf I}D^\bullet \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I\times J}}D\cong \lim_{\leftarrow \mathbf I}\lim_{\leftarrow \mathbf J}D_\bullet
が成り立ち、これらの極限は存在する。特に$ \mathscr Sは$ \mathbf{I\times J}型の極限を持つ。
双対化すると余極限は余極限と交換可能だと分かる。
(証明)
対称性より最初の同型について示せばよい。関手圏の完備性より$ \lbrack \mathbf J, \mathscr S \rbrackは$ \mathbf I型極限をもつ。よって$ \lim_{\leftarrow \mathbf I}D^\bullet\in\lbrack \mathbf J, \mathscr S \rbrackが存在する。$ \mathscr Sは$ \mathbf J型極限を持つので$ \lim_{\leftarrow \mathbf J}\lim_{\leftarrow \mathbf I}D^\bulletが存在する。このとき$ S\in\mathscr Sに対して自然に $ \begin{aligned} \mathscr S(S, \lim_{\leftarrow \mathbf J}\lim_{\leftarrow \mathbf I}D^\bullet) &\cong \lbrack \mathbf J, \mathscr S \rbrack(\Delta S, \lim_{\leftarrow \mathbf J} D^\bullet) \\ &\cong \lbrack \mathbf I, \lbrack \mathbf J, \mathscr S \rbrack\rbrack (\Delta(\Delta S), D^\bullet) \\ &\cong \lbrack \mathbf{I\times J}, \mathscr S \rbrack(\Delta S, D). \end{aligned}
(ここで最初の2つの同型は極限錐は表現であることから従う。最後の同型は$ \lbrack \mathbf I, \lbrack \mathbf I, \mathscr S \rbrack\rbrack \cong \lbrack \mathbf{I\times J}, \mathscr S \rbrackから従う。) 上の同型は$ \lim_{\leftarrow \mathbf J}\lim_{\leftarrow \mathbf I} D^\bulletが$ \lbrack \mathbf{I\times J}, \mathscr S \rbrack(\Delta, D)の表現であることを示唆しているので、$ \lim_{\leftarrow \mathbf J}\lim_{\leftarrow \mathbf I} D^\bullet \cong \lim_{\leftarrow \mathbf{I\times J}} Dと分かる。$ \square
前層の極限
$ \mathbf Aを小圏とする。このとき$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackは全ての極限、余極限を持ち、各$ A\in\mathbf Aに対して$ \mathrm{ev}_A:\lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack \to \mathbf{Set}はそれらを保存する。$ \square
米田埋め込みは極限を保存する
$ \mathbf Aを小圏とする。このとき米田埋め込み$ H_\bullet:\mathbf A\to \lbrack \mathbf A^\mathrm{op},\mathbf{Set} \rbrackは極限を保存する。
(証明)
$ \left(\lim_{\leftarrow\mathbf I} D\xrightarrow{p_I} D(I)\right)_{I\in\mathbf I}を図式$ D:\mathbf I\to \mathbf A上の極限錐とする。各$ A\in\mathbf Aに対し合成関手
$ \mathbf A\xrightarrow{H_\bullet}\lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack \xrightarrow{\mathrm{ev}_A} \mathbf{Set}
$ \left( \mathrm{ev}_A H_\bullet\left(\lim_{\leftarrow\mathbf I}D\right)\xrightarrow{\mathrm{ev}_A\circ H_\bullet(p_I)}\mathrm{ev}_A H_\bullet(D(I)) \right)_{I\in\mathbf I}
は極限錐である。よって関手圏の極限は各点で計算されるの "さらには" の部分を$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackにおける図式$ H_\bullet \circ Dに適用すれば$ \left( H_\bullet\left(\lim_{\leftarrow\mathbf I}D\right)\xrightarrow{H_\bullet(p_I)} H_\bullet(D(I))\right)_{I\in\mathbf I}は$ H_\bullet \circ D上の極限錐であることが分かる。$ \square 表現可能前層の極限は表現可能
米田埋め込みは極限を保存するから全ての$ X, Y\in\mathbf Aに対して$ \lbrack \mathbf A, \mathbf{Set} \rbrackにおいて $ H_{X\times Y} \cong H_X \times H_Y
と分かる。これは表現可能前層の積は表現可能だということを表している。一般に、表現可能前層による任意の極限はまた表現可能になる。
全ての前層は表現可能関手の余極限である
前層の和
$ \mathbf A = \{K, L\}を離散圏とする。このとき$ \mathbf Aの前層$ Xは集合の組$ (X(K), X(L))であるから$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack \cong \mathbf{Set}\times\mathbf{Set}と分かる。このとき2つの表現可能関手$ H_K, H_Lは
$ H_A(B) =\mathbf A(B, A)\cong \left\{\begin{aligned} 1\hspace{1em}\mathrm{if}\ A=B \\ \empty\hspace{1em}\mathrm{if}\ A\not=B \end{aligned}\right.\hspace{2em}(A, B\in\{K, L\}).
で与えられる。$ \lbrack\mathbf{A}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}\rbrackを$ \mathbf{Set}\times\mathbf{Set}と思うと$ H_K\cong(1, \empty),\ H_L \cong (\empty, 1)となる。$ \mathbf{Set}\times\mathbf{Set}の対象は$ (1, \empty)と$ (\empty, 1)のコピーの(非交叉)和だと思える。例えば、
$ (\{a, b, c\}, \{u, v\}) \cong (1,\empty)\amalg(1, \empty)\amalg(1, \empty)\amalg(\empty, 1)\amalg(\empty, 1)
である。
よって、$ X(K) = \{a, b, c\},\ X(L) = \{u, v\}のとき
$ X \cong H_K + H_K + H_K + H_L + H_L\hspace{1em}\mathrm{in}\ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set}\rbrack.
要素の圏
$ \mathbf Aを圏、$ Xを$ \mathbf A上の前層とする。$ Xの要素の圏$ \textcolor{cyan}{\mathbf E(X)}とは
対象は$ A\in\mathbf Aと$ x\in X(A)からなる組$ (A, x)
射$ (A, x)\to(A', x')は$ (Xf)(x) = x'となるような$ \mathbf Aにおける射$ f:A'\to A
からなる圏である。$ Xの要素の圏は$ \int_{\mathbf A^\mathrm{op}} Xや$ \int^\mathbf A Xと表すこともある。
また射影関手$ \textcolor{cyan}{P:\mathbf E(X)\to\mathbf A}が$ P(A, x) = A,\ P(f) = fによって定まる。
前層は表現可能関手の余極限 (稠密性定理)
$ \mathbf Aを小圏、$ Xを$ \mathbf A上の前層とする。このとき$ Xは$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack内の図式
$ \mathbf E(X)\xrightarrow{P}\mathbf A\xrightarrow{H_\bullet}\lbrack \mathbf A^\mathrm{op},\mathbf{Set} \rbrack
の余極限である。すなわち$ X \cong \lim_{\rightarrow \mathbf E(X)}(H_\bullet\circ P)。
この定理は米田の補題と上のステートメントの両方を高尚な圏論の言葉 (エンド、もしくは両側加群) で書き換えると上の定理が米田の補題の双対であることが明らかになる (がベシ圏の範囲を超えるので扱わない)。
(証明)
$ \mathbf{A}は小圏なので$ \mathbf E(X)もそうである。($ \mathrm{Mor}(\mathbf E(X)) = \mathrm{Mor}(\mathbf A))
よって$ H_\bullet \circ Pは確かに図式である。
いま$ Y\in\lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackを頂点とする$ H_\bullet\circ P上の余錘を考えると、それは自然変換の族
$ \left( H_A\xrightarrow{\alpha_{A, x}} Y \right)_{A\in\mathbf A,\ x\in X(A)}
であって任意の$ f:A'\to Aと全ての$ x\in X(A)に対して
$ \alpha_{A,\ x}\circ H_f = \alpha_{A',\ (Xf)(x)}
を満たすものである。米田の補題の同型から$ \alpha_{A, x}は$ \bar\alpha_A(x) = (\alpha_{A, x})_{A}(1_{A}) \in Y(A)に自然に対応しており、米田の補題の証明における$ \tilde{}の$ Aに関する自然性の議論から
$ (\alpha_{A, x}\circ H_f)_{A'}(1_A') = (Yf)((\alpha_{A, x})_A(1_A))
であった。ゆえに余錘は族
$ \left(X(A) \xrightarrow{\bar \alpha_A} Y(A)\right)_{A\in\mathbf A}
であって$ \bar\alpha_A(x)\in Y(A)かつ、任意の$ f:A'\to Aと全ての$ x\in X(A)に対して
$ (Yf)(\bar\alpha_A(x)) = \bar \alpha_A'((Xf)(x))
を満たすものである。
そして、直前の等式は$ \bar\alpha:X\to Yが自然変換であることを意味している。
以上より、各$ Y\in\lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackに対し標準的な全単射
$ \lbrack \mathbf E(x), \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack \rbrack(H_\bullet\circ P, \Delta Y) \cong \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrack(X, Y)
を得られた。よって$ Xは$ \mathrm{Cocone}(H_\bullet\circ P, -)の表現であり、ゆえに$ Xは$ H_\bullet\circ Pの余極限である。$ \square
稠密性定理と前層の和
$ \mathbf A, $ Xを前層の和の最後と同じ状況で仮定する。$ \mathbf Aは離散圏なので$ \mathbf E(X)もそうである。$ \mathbf E(X)の対象を書き下すと $ \mathbf E(X) = \{(K, a),\ (K, b),\ (K, c),\ (L, u),\ (L, v)\}
となる。射影$ P:\mathbf E(X)\to\mathbf Aは$ (K, *)\mapsto K,\ (L, *)\mapsto Lというように写すので、図式$ H_\bullet\circ \mathbf E(X):\mathbf E(X)\to\lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackは$ (K, *)\mapsto H_K,\ (L, *)\mapsto H_Lというように写す。よって$ H_\bullet\circ Pの余極限は5つの表現可能関手の和
$ \lim_{\to \mathbf E(X)}(H_\bullet\circ P) = H_K + H_K + H_K + H_L + H_L
であり、前層の和で見た通りこれは$ Xと同型である。 要素の圏と一般化された要素
対象$ Xの一般化された要素とは$ Z\to Xのような$ Xへ入る射である。ここで大事なのは$ Zの方で、特定の形をした$ Zが興味深いのだった。$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set}\rbrackにおいて表現可能関手というのは特殊なステータスであるから、表現可能型の一般化された要素について調べたくなる。そして、米田の補題は表現可能型の$ Xの一般化された要素が$ A \in \mathbf Aと$ x\in X(A)の組$ (A, x)に対応していることを示唆している。そしてこれらは$ Xの要素の圏の対象として言い換えられる。
なぜ "稠密性" 定理なのか
位相空間論において部分空間$ Aが位相空間$ Bにおいて稠密であるとは、$ Bの各点が$ Aにおける点列の極限として得られることを指す。そして稠密性定理は$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackの各対象が$ \mathbf Aの対象の (米田埋め込み$ H_\bulletによる像の) 余極限として得られるという点で$ \mathbf Aが$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op}, \mathbf{Set} \rbrackにおいて "稠密" であることを主張している。
演習問題
演習 6.2.20
小圏$ \mathbf Aを固定する。
(a)$ \mathscr Sを引き戻しを持つ locally small な圏とする。このとき関手$ X, Y:\mathbf A\to \mathscr Sの間の自然変換$ \alpha:X\to Yがモノ射であることと、$ \forall A\in\mathbf Aに対し$ \alpha_Aがモノ射であることは同値であることを示せ。
(b)$ \lbrack \mathbf A^\mathrm{op},\mathbf{Set} \rbrackにおけるモノ射とエピ射を明示的に記述せよ
(解答)
(a)
$ \alpha:X\to Yがモノ射
$ \iff \lbrack \mathbf A, \mathscr S \rbrackにおいて図式
https://gyazo.com/725702e90c5783609f30651826ff827c
が引き戻し
$ \iff \forall A\in\mathbf Aに対し図式
https://gyazo.com/818c51839bf18801fa0e9c4bc94a98ad
が引き戻し
$ \iff \forall A\in\mathbf Aに対し$ \alpha_Aがモノ射
(b) (a)の結論から$ \alpha:X\to Yがモノ射であることと$ \forall A\in\mathbf A,\ \alpha_A:Y(A)\to X(A)がエピ射であることが同値。$ X, Yの値域は$ \mathbf{Set}であるから、これは$ \forall A\in\mathbf A,\ \alpha_A:Y(A)\to X(A)が全射であることと同値であることが分かる。
双対性より$ \alpha:X\to Yがエピ射であることと$ \forall A\in\mathbf A,\ \alpha_A:Y(A)\to X(A)が単射であることが同値である。$ \square
演習 6.2.21
(a)$ \mathscr Aを locally small な圏、$ A\in\mathscr Aとする。$ \mathscr A上の前層$ X, Yが$ \mathrm{H}_A\cong X + Yを満たすとすると$ Xか$ Yのどちらかは定数関手$ \emptyであることを示せ。
(b)表現可能関手の和は表現可能にならないことを示せ
(解答)
(a)$ X+Yが表現可能なので普遍要素$ u\in (X+Y)(A) = X(A) + Y(A)が存在する (等式は前層の極限より) 。 よって$ \forall B\in \mathscr A,\ \forall x\in X(B)+Y(B)に対して$ \exist! f:B\to A s.t. $ (X+Y)(f)(u) = (Xf + Yf)(u) = x。よって$ u\in X(A)であれば$ (X+Y)(f)の計算方法より$ Y=\emptyと分かる。同様に$ u\in Y(A)であれば$ X = \emptyと分かる。
(b)$ \forall A\in\mathscr Aに対し$ H_A(A) = \mathscr A(A, A)\ni 1_Aより$ H_A\neq \empty。よって(a)の対偶から$ \forall A, B\in\mathscr Aに対し$ H_A + H_Bは表現可能ではない。$ \square
演習 6.2.22
要素の圏をコンマ圏で表せ。
(解答)
$ \mathbf Aを圏、$ Xを$ \mathbf A上の前層とする。このとき$ 1:\mathbf 1\to\mathbf{Set}を1点集合におくる関手であるとする。このとき$ \mathbf E(X)\cong 1\downarrow Xである。実際、$ 1\downarrow Xの対象は$ A\in\mathbf Aと射$ x:1\to X(A)による組$ (1, x, A) \cong (A, x)であり、射$ (1, x, A)\to (1, x', A')は図式
https://gyazo.com/909b1ef67826b862804ee12ea555af8e
を可換にする$ \mathbf Aにおける射$ f:A'\to Aである。図式の可換性は$ (Xf)(x) = x'であることを意味している。$ \square
演習 6.2.23
$ Xを locally small な圏上の前層とする。このとき
$ Xが表現可能$ \iff \mathbf E(X)が終対象を持つ
※終対象は極限であるから表現可能性の概念は極限の概念に由来することが分かる。さらに圏$ \mathscr Eの終対象は$ \mathscr E\to \mathbf 1に右随伴である。つまり表現可能性は随伴性からも来ることが分かる。
(解答)
$ (\implies)$ X\cong H_Aとする。よって$ \mathbf E(X)\cong \mathbf E(H_A)である。$ (A, 1_A)\in\mathbf E(H_A)が終対象であることを示す。任意の要素$ (B, f:B\to A)\in\mathbf E(H_A)をとると$ (H_Af)(1_A) = fより$ f:B\to Aは$ (B, f)から$ (A, 1_A)への射であると分かる。また$ g:B\to Aが射$ (B, f)\to(A, 1_A)であるとすると$ (H_A g)(1_A) = 1_A\circ g = fより$ g= f。つまり射$ f:B\to Aは一意的である。よって$ (A, 1_A)は$ \mathbf E(H_A)\cong \mathbf E(X)の終対象である。
$ (\impliedby)$ \mathbf E(X)が終対象$ (T, t)を持つとする。よって$ \forall (A, x)\in\mathbf E(X)に対して$ \exist!\ f_x:A\to T s.t. $ (Xf_x)(t) = x。これは$ t\in X(T)が$ Xの普遍要素であることを意味しており、ゆえに$ Xは表現可能関手である。