ベーシック圏論4章1節
読んだ内容を軽くまとめます.
4.1 定義と例
定義 4.1.1
$ \mathscr{A}をlocally smallな圏,$ A\in\mathscr{A}に対して次の関手を定義する.
$ H^A = \mathscr{A}(A, -):\ \mathscr{A}\rightarrow \bold{Set}
ここで
$ B\in\mathscr{A}を代入すると$ H^A(B)=\mathscr{A}(A, B)
$ \mathscr{A}の射$ g:B\to B'に対して,
$ H^A(g)=\mathscr{A}(A, g):\ \mathscr{A}(A, B)\rightarrow \mathscr{A}(A, B')
を全ての$ p:A\to Bに対して
$ p\mapsto g\circ p
によって定義する.
注意 4.1.2
(b)$ H^A(g)は$ Aから出てる射$ fを$ gを後から合成するだけなので
$ g\circ -
と表記することがあるよ.
定義 4.1.3
$ \mathscr{A}をlocally smallな圏とする.関手$ X:\ \mathscr{A}\rightarrow \bold{Set}に対して$ X \cong H^Aとなる$ A\in\mathscr{A}が存在する,このとき$ Xは表現可能であるという.そして,$ A\in\mathscr{A}と$ H^A,$ X間の同型射を$ Xの表現という.
$ Xと$ H^Aは関手なのでその同型射は同型変換
なので,$ X(A')から$ H^A(A')への変換が自然であることを確認する必要がある~
値域が$ \bold{Set}の関手しか表現可能にならん.
例 4.1.4 ~ 4.1.6
始対象 終対象$ 1を使えば忘却関手を$ H^1によって表現できるよ
例 4.1.7
モノイド$ Mから$ \bold{Set}への関手は$ M-作用であった.$ Mの対象は1つしかないため,同型の違いを除いてただ1つだけの表現可能関手が存在する.この唯一の関手を$ Mの左正規表現という.
例 4.1.8
$ \bold{Toph_*}を基点付き位相空間を対象とし,射を基点を保持する連続写像によるホモトピー類とする.$ S^1\in\bold{Toph_*}を円周とすると,任意の対象$ X\in\bold{Toph_*}に対して射$ S^1\rightarrow Xは基本群$ \pi_1(X)の要素である.よって,合成された次の関手
$ \bold{Toph_*}\xrightarrow{\pi_1}\bold{Grp}\xrightarrow{U}\bold{Set}
は$ \bold{Toph_*}(S^1, -)と同型であり,特に表現可能である.自然であることはめんどいので考えません
https://gyazo.com/800de7790371b330e2917668eb9b9970
例 4.1.9
双線形写像の集合$ \bold{Bilin}(U, V; -):\bold{Veck}_k\rightarrow \bold{Set}はテンソル積$ U\otimes Vによって表現できる.
補題 4.1.10
$ F: \mathscr{A}\rightarrow\mathscr{B},\ G: \mathscr{B}\rightarrow\mathscr{A}をlocally smallな圏とし,$ F\dashv Gとする.$ A\in\mathscr{A}とすると関手
$ \mathscr{A}(A, G(-)): \mathscr{B}\rightarrow\bold{Set}
(これは合成関手$ \mathscr{B} \overset{G}\longrightarrow \mathscr{A} \overset{H^A}\longrightarrow \bold{Set})は表現可能である.
証明
$ F\dashv Gより各$ B\in\mathscr{B}について集合的に
$ \mathscr{A}(A, G(B))\cong \mathscr{B}(F(A), B).
よって$ \mathscr{A}(A, G(-))が表現可能であること,つまり$ H^{F(A)}と同型であることを示すには上の同型が$ Bについて自然であることを示せばいい.つまり,次の図式が可換であることを確認する.($ B\xrightarrow{q} B'は$ \mathscr{B}の射)
https://gyazo.com/c76a407d9dee3b388cfbf4c1cd5c57e0
ここで水平方向の矢印は随伴による全単射である.
$ \mathscr{A}(A, G(B))から$ f:A\rightarrow Bを取り出して考えると
https://gyazo.com/c72e0841c908c47c7405042da0cdc81d
を得る.ここで随伴の自然性公理より$ \overline{G(q)\circ f}=\overline{G(q)}\circ \bar{f}=q\circ \bar{f}となる.よって確かに
$ \mathscr{A}(A, G(B))\cong \mathscr{B}(F(A), B)
は$ Bについて自然である.
表現可能な関手は少ないが,忘却関手は表現可能な傾向にありそうだというのが次の命題
命題 4.1.11
値域が$ \bold{Set}である左随伴を持つ任意の関手は表現可能である.
証明
$ G:\mathscr{A}\rightarrow \bold{Set}を関手とし,その左随伴を$ Fとする.1点集合を$ 1で表すと,$ A\in\mathscr{A}について自然に
$ G(A)\cong\bold{Set}(1, G(A)).
これは$ G\cong\bold{Set}(1, G(-))ということである.よって補題4.1.10より$ \bold{Set}(1, G(-))=\left(\mathscr{A}\xrightarrow{G}\bold{Set}\xrightarrow{H^{1}}\bold{Set}\right)は表現可能であるから$ Gも表現可能であり,確かに$ G\cong H^{F(1)}.
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例 4.1.12 ~ 4.1.14
命題4.1.11より,忘却関手が表現可能だぜイエイという例
関手$ H^Aの$ Aの部分を変数にしたら楽しそうじゃない!?
定義 4.1.15
$ \mathscr{A}をlocally small な圏とする.関手
$ H^\bullet: \mathscr{A^{\text{op}}}\rightarrow\lbrack\mathscr{A}, \bold{Set}\rbrack
を対象については$ H^\bullet(A)=H^A,射$ f:A\rightarrow A'については自然変換$ H^\bullet(f)=H^f:H^A\rightarrow H^{A'}として定義する.ここで,$ H^fは$ p\in\mathscr{A}(A, B)に対して$ H^f(p)=p\circ fというように定義される.
https://gyazo.com/f27f97607281639ffbbe10e801d0a5ad
注意 $ \mathscr{A}^{\text{op}}なのは射の合成の順番に整合性を持たせるため.
今まで定義してきた(共変)関手たちは射を逆向きにしまくって双対化つまり反変関手を定義できるぜイエイ
定義 4.1.16
$ \mathscr{A}をlocally small な圏とし,$ A\in\mathscr{A}とする.関手
$ H_A=\mathscr{A}(-,A):\mathscr{A}^{\text{op}}\rightarrow\bold{Set}
を次のように定義する:
対象$ B\in\mathscr{A}を入れると$ H_A(B)=\mathscr{A}(B,A)
$ \mathscr{A}の射$ B'\xrightarrow{g}Bに対して全ての$ p:B\rightarrow Aを
$ p\mapsto p\circ g
によって
$ H_A(g)=\mathscr{A}(g,A)=g^*=-\circ g:\mathscr{A}(B,A)\rightarrow\mathscr{A}(B',A)
と定義する.
今定義した関手でも表現可能性を定義するね
定義 4.1.17
$ \mathscr{A}をlocally smallな圏とする.関手$ X:\mathscr{A}^{\text{op}}\rightarrow\bold{Set}に対して,$ X\cong H_Aとなる$ A\in\mathscr{A}が存在するとき$ Xは表現可能であるという.また,$ Xの表現とは対象$ A\in\mathscr{A}と$ H_A,\ X間の同型射の選択のことである.
例 4.1.18
各集合$ Bをその冪集合$ \mathscr{P}(B)に送り,$ \bold{Set}の射$ g:B'\rightarrow Bを全ての$ U\in\mathscr{P}(B)に対して$ (\mathscr{P}(g))(U)=g^{-1}(U)と定義する関手
$ \mathscr{P}: \bold{Set}^{\text{op}}\rightarrow\bold{Set}
がある.(つまり$ \mathscr{P}(g)は$ g^{-1}(U)を$ Uに対応付ける射.)部分集合は台集合から2点集合への写像(指示関数,特性関数)によって記述できるので,台集合から2点集合$ 2への写像の全体$ \bold{Set}(B,2)は台集合の冪集合と同型である.つまるところ$ \mathscr{P}\cong H_2.
どうして$ \mathscr{P}(g)を定義するときに$ \bold{Set}の射$ gを使うかというと,$ \bold{Set}^{\text{op}}の射は逆向きにしたら写像になる対応関係というクッソ扱いづらい形をしているからそれよりも格段に取り扱いやすい$ \bold{Set}から射を持ってきている.
例 4.1.19
同様に空間$ Xをその開集合系$ \mathscr{O}(X)に対応づける関手
$ \mathscr{O}:\bold{Top}^{\text{op}}\rightarrow\bold{Set}
がある.$ Sを2点集合でちょうど一つの1点部分集合が開集合でもう一つの1点部分集合が開集合でない空間であるとすると,$ Bから$ Sへの連続写像は$ Bの開部分集合と自然に対応する.それゆえに$ \mathscr{O}\cong H_Sであり$ \mathscr{O}は表現可能である.
https://gyazo.com/0849f7551edba91a1e283a2ec3bc6b62
めっちゃ時間かかっちゃった...
射に$ \mathscr{O}を作用させる定義で$ \bold{Top}から射をとってきていることに気が付かなかったのが敗因
例 4.1.20
関手$ C:\bold{Top}^{\text{op}}\rightarrow\bold{Ring}を各位相空間$ Xを連続写像$ X\rightarrow\mathbb{R}の集まりによって構成される環に対応付けることによって定義する.(各対象$ (p:X\rightarrow\mathbb{R})\in C(X)に対して$ C(f)=-\circ fi.e. $ (C(f))(p)=p\circ fである.)次の合成関手
$ \bold{Top}^{\text{op}}\xrightarrow{C}\bold{Ring}\xrightarrow{U}\bold{Set}
は$ U(C(X))=\bold{Top}(X,\mathbb{R})より$ U\circ C=H_\mathbb{R}であり,特に表現可能である.
$ H^\bulletと同じように$ H_\bulletを定義したい!
定義 4.1.21
$ \mathscr{A}をlocally small な圏とする.$ \mathscr{A}の米田埋め込みとは次の関手である.
$ H_\bullet: \mathscr{A}\rightarrow\lbrack\mathscr{A^\text{op}},\bold{Set}\rbrack
ここで対象$ Aに対しては$ H_\bullet(A)=H_Aであり,射$ fに対しては$ H_\bullet(f)=H_f=f\circ-と定義する.
米田埋め込みと呼ぶからには$ H_\bulletは単射(っぽい)んだぜ~って話が入ってくる.(演習4.1.27)
$ H^\bulletと$ H_\bulletを合体させた関手も作っちゃう
定義 4.1.22
$ \mathscr{A}をlocally smallな圏とする.関手
$ {\rm Hom}_\mathscr{A}: \mathscr{A}^{\rm op}\times\mathscr{A}\rightarrow\bold{Set}
を$ {\rm Hom}_\mathscr{A}(A,B)=\mathscr{A}(A, B),$ ({\rm Hom}_\mathscr{A}(f, g))(p)=g\circ p\circ f($ A'\xrightarrow{f}A\xrightarrow{p}B\xrightarrow{g}B')によって定義する.
注意 4.1.23
(c) 例 2.1.6にて,任意の集合$ Bに対して関手$ \bold{Set}\rightarrow\bold{Set}の随伴$ (-\times B)\dashv(-)^Bがあることを見た.同様に任意の圏$ \mathscr{B}について関手$ \bold{CAT}\rightarrow\bold{CAT}の随伴$ (-\times\mathscr{B})\dashv\lbrack\mathscr{B}, -\rbrackがある.別の言い方をすれば$ \mathscr{A, B, C}\in\bold{CAT}に対して恣意的な全単射
$ \bold{CAT}(\mathscr{A\times B,C})\cong\bold{CAT}(\mathscr{A,\lbrack B,C\rbrack})
があるということ.この全単射を使えば$ {\rm Hom}_\mathscr{A}と$ H^\bulletは本質的には同じものだということがわかる.
注意 4.1.24
随伴の自然性公理と$ \mathscr{B}(F(-),-)と$ \mathscr{A}(-,G(-))が自然同型であることは同値だぜ~って話.
集合$ Aの対象は1点集合$ 1からの写像$ 1\rightarrow Aと同一視できた.これを拡張していく~
定義 4.1.25
$ Aを圏の対象とする.$ Aの一般化された要素とは$ Aを値域に持つ射のことである.射$ S\rightarrow Aを$ Sの形をした$ Aの一般化された要素という.
圏を$ \bold{Top}とし,$ S^1を円とする.$ \bold{Top}の射,つまり連続写像$ S^1\to Aは$ Aの中でループを形成する.これって$ S^1の形をしてるって言えるくない?というのが上の定義のお気持ち.
演習問題
演習 4.1.26
パス
演習 4.1.27
https://gyazo.com/ef26ff0966d2e86715b104873b8f15d3
よって,$ f\circ g = 1_A'.同様に$ 1_A'からなんかイイ感じにやれば$ g\circ f=1_Aを得る.よって$ A\cong A'.
演習 4.1.28
$ U_p(G)=\{Gの元で位数が1かp\}である.$ U_p(G)\ni xに対して写像$ f:\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\rightarrow Gを$ f_x(1)=xとする.この$ f_xは$ \bold{Grp}(\mathbb{Z/pZ}, G)の元である.この対応によって$ U_p(G)と$ \bold{Grp}(\mathbb{Z/pZ}, G)の元は1対1対応する.よって,あとこの同型が$ Gについて自然であることを見ればよい.
https://gyazo.com/c01f2605e106cc05f5abed7486bf5925
演習 4.1.29
$ U:\bold{CRing}\rightarrow\bold{Set}とする.演習0.13(a)より,任意の環$ Rに対して$ \bold{CRing}(\mathbb{Z}\lbrack x\rbrack, R)は$ Rの元と一対一対応をする.よって$ U(R)\cong\bold{CRing}(\mathbb{Z\lbrack x\rbrack}, R)である.よって後はこの同型が$ Rについて自然であることを示せばよい.
https://gyazo.com/b470b06849acf74d7289a0d70ca94d90
演習 4.1.30
例 4.1.19見て
演習 4.1.31
圏$ \bold{2}=\{\circ\rightarrow\bullet\}とする.$ M:\bold{Cat}\rightarrow\bold{Set}に対して$ M\cong H^\bold{2}=\bold{Cat(\bold{2},-)}であることを示す.
まず,圏$ \mathscr{A}に対して$ M(\mathscr{A})\cong H^\bold{2}(\mathscr{A})であることを確かめる.これ自明じゃね?確かに$ \mathscr{A}の任意の射$ f:A\rightarrow Bに対して,$ F(\circ)=A,\ F(\bullet)=B,\ F(\circ\rightarrow\bullet)=fとなる関手$ Fがただ一つ存在する.よって$ M(\mathscr{A})\cong H^\bold{2}(\mathscr{A})である.あとはこの同型が$ \mathscr{A}について自然であることを確かめればよい.
https://gyazo.com/91c0ade2d811db128308e91a87d067f5
演習 4.1.31
$ A\in\mathscr{A},\ B\in\mathscr{B}に対して$ \mathscr{B}(F(A), B)\cong\mathscr{A}(A, G(B))であることは$ Fと$ Gが随伴であることと,$ \mathscr{B}(F(A), B)\cong\mathscr{A}(A, G(B))が$ (A, B)\in\mathscr{A\times B}に対して自然であることで共通している.よって同型の自然性について見ればよい.演習 1.3.29より$ A\in\mathscr{A}と$ B\in\mathscr{B}の片方を固定してもう片方について自然であることを両方について確かめればよい.$ Bを固定して$ Aについて自然であることを見る.
https://gyazo.com/fed75f52b852686bde2da99164df7ad2
この図式が可換になるのは$ Fと$ Gが随伴の自然性公理の(2.2)式を満たすときである.逆に上の図式が可換であれば(2.2)式は満たされる.同様にして,$ Bについて自然であることを見れば自然変換の図式が可換であることと(2.3)式が満たされることが同値であることが分かる.ゆえに$ Fと$ Gが随伴であることと$ \mathscr{B}(F(-), -)\cong\mathscr{A}(-, G(-))であることは同値である.