クラインの壺 - tortoisebekkou's 4D Scrapbox

クラインの壺

読み：クラインのつぼ

英語：Klein bottle など

2次元位相多様体。埋め込み次元が4。はめ込み次元は3。

実現するために使う「入れ物」の次元が4という意味では4次元図形だ。

オイラー標数は0。向き付け不可能閉曲面としての示性数は2。

よく知られる図では壺とか瓶に見えるのだけど、もっと別の見た目にもなる。

8の字が半回転ひねりながら一周したやつとかね。

Wolfram の記事の下の方に出てくる

球面と2つの射影平面との連結和$ S_2 \# RP \# RPとかね。

次の投影図とかね。

https://scrapbox.io/files/689dea056bd7f7dfb7c4f970.png

水を入れて動きを見る実験は、よく行われているが、あくまで3次元での擬似的な図形を用いた営みであろう。

用いられるのが、有名なはめ込み図形から自己交差付近の円板を除去した「似非（えせ）クラインの壺」のことさえある。（菊池和徳による呼称）

また、この実験を上記の“8の字”形のはめ込みで行おうとすると、水を入れる取っかかりすらない。

また、4次元空間中の2次元複体は何も囲まないので、そもそも4次元空間では曲面を使って水を掬えないことに留意したい。

クラインの壺には6点完全グラフ$ K_6を埋め込むことができる。（平面や球面では4点が限度だった。）

余談

YouTube解説動画でトンチンカンなこと言ってる質の低いのが同時多発してるな……こんなので数十万回も再生数稼いじゃだめだぞ。

「唯一実在する4次元図形」じゃねーよ！

3次元では自己交差してるだろ！

そこに目をつぶったとしても射影平面とかダイクの曲面(Dyck's surface, ディークの曲面)とかがあって唯一じゃないだろ！