クラインの壺
読み：クラインのつぼ
英語：Klein bottle など
2次元位相多様体。埋め込み次元が4。はめ込み次元は3。
実現するために使う「入れ物」の空間の次元（これをある文献では外因的次元と言っている）が4という意味では4次元図形だ。
オイラー標数は0。向き付け不可能閉曲面としての示性数は2。
よく知られる図では壺とか瓶に見えるのだけど、もっと別の見た目にもなる。
8の字が半回転ひねりながら一周したやつとかね。
Wolfram の記事の下の方に出てくる
球面に射影平面を2つ取り付けたやつ $ S_2 \# RP \# RP とかね。
また、水を入れて動きを見るというのもよくあるが、あくまで3次元での営みであろう。4次元空間中の2次元複体は何も囲まない（はずだ）ことに留意したい。
3次元で考えたとしても、上記の“8の字”形のはめ込みでは水を入れる取っかかりすらない。
クラインの壺には6点完全グラフ$ K_6を埋め込むことができる。（平面や球面では4点が限度だった。）
余談
YouTube解説動画でトンチンカンなこと言ってる質の低いのが同時多発してるな……こんなので数十万回も再生数稼いじゃだめだぞ。
「唯一実在する4次元図形」じゃねーよ！
自己交差してるだろ！
そこに目をつぶったとしても射影平面とかダイクの曲面(Dyck's surface, ディークの曲面)とかがあって唯一じゃないだろ！
関連
クライン体
#曲面あり #グラフ理論