骨組構造物の仮想仕事式
これに任意の$ C^1級函数$ \eta_x,\eta_yをかけた一次式を作る
$ (N'+q)\eta_x-(M'-Q)\eta_y'=0ー(1)
$ \because0に何をかけても0
(1)
$ \iff (N\eta_x)'+q_x\eta_x-(M\eta_y')'+(Q\eta_y)'=N\eta_x'-M\eta_y''+Q'\eta_y
$ \because (N\eta_x)'=N'\eta_x+N\eta_x'
$ \because (M\eta_y')'=M'\eta_y'+M\eta_y''
$ \because (Q\eta_y)'=Q'\eta_y+Q\eta_y'
$ \iff (N\eta_x-M\eta_y'+Q\eta_y)'+q_x\eta_x-Q'\eta_y=N\eta_x'-M\eta_y''
$ \iff (N\eta_x-M\eta_y'+Q\eta_y)'+q_x\eta_x+q_y\eta_y=N\eta_x'-M\eta_y''
$ \iff (N\eta_x-M\eta_y'+Q\eta_y)'+q_x\eta_x+q_y\eta_y=N\eta_x'-M\eta_y''ー(2)
ここで、梁の方向を$ \pmb e_x、梁に直交する方向を$ \pmb e_yとし、分布荷重と断面力を以下のvectorで書き換える
$ \pmb \eta:=\eta_x\pmb e_x+\eta_y\pmb e_y
$ \pmb q:=q_x\pmb e_x+q_y\pmb e_y
$ \pmb F:=N\pmb e_x+Q\pmb e_y
このとき、式(2)は式(3)と書き換えられる
$ (\pmb F\cdot\pmb\eta-M\eta_y')'+\pmb q\cdot\pmb\eta=N\eta_x'-M\eta_y''ー(3)
式(3)を骨組み構造に適用する
https://kakeru.app/8e226b21734bfdb2ea09124713b0eba7 https://i.kakeru.app/8e226b21734bfdb2ea09124713b0eba7.svg
梁部材ごとに座標系を図のように設置する
端点および接合部の座標を、左から順に$ \pmb x_0,\pmb x_1,\cdots,\pmb x_nとする
$ \pmb x_iでの断面力を$ \pmb F_i,N_i,M_iと表す
各部材での$ \pmb e_{xi}方向をパラメタ$ xで表す
境界条件は現段階では任意とする
各部材$ iに式(3)を適用し、$ \pmb x_iから$ \pmb x_{i+1}まで積分すると、式(4)となる
$ \pmb F_{i+1}\cdot\pmb\eta(\pmb x_{i+1})-M_{i+1}\pmb\eta'(\pmb x_{i+1})+\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}\pmb q\cdot\pmb\eta\mathrm{d}x
$ =\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}N\eta_x'\mathrm{d}x-\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}M\eta_y''\mathrm{d}x+\pmb F_i\cdot\pmb\eta(\pmb x_i)-M_i\pmb\eta'(\pmb x_i)ー(4)
$ \text{.for }\forall i\in[0,n[
https://kakeru.app/145bb2c7ab28efbb17910320468273ea https://i.kakeru.app/145bb2c7ab28efbb17910320468273ea.svg
ここまで任意函数$ \pmb\etaで式を立ててきた。ここから$ \pmb\etaに仮想変位$ \bar{\pmb u}を代入する。
$ \pmb x_iでの仮想変位を$ \bar{\pmb u_i}、仮想たわみ角を$ \bar\theta_i、仮想たわみを$ \bar v_iとする
また任意地点での梁方向の仮想変位を$ \bar u_x、仮想たわみを$ \bar u_yとする
$ \underbrace{\pmb F_{i+1}\cdot\bar{\pmb{u}}_{i+1}+M_{i+1}\cdot-\bar\theta_{i+1}}_\text{終点での仮想仕事}+\underbrace{\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}\pmb q\cdot\bar{\pmb u}\mathrm{d}x}_\text{分布荷重による仕事}=\underbrace{\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}\frac{N\bar N}{EA}\mathrm{d}x+\int_{\pmb x_i\to\pmb x_{i+1}}\frac{M\bar M}{EI}\mathrm{d}x}_\text{内部仮想仕事}+\underbrace{\pmb F_i\cdot\bar{\pmb{u}}_i+M_i\cdot-\bar\theta_i}_\text{始点での仮想仕事}ー(5)
式(5)を$ 0\le i<nまでの全ての部材で足し合わせると、骨組み構造全体の仮想仕事式を得る
$ \underbrace{\pmb F_n\cdot\bar{\pmb{u}}_n+M_n\cdot-\bar\theta_n}_\text{終点での仮想仕事}+\underbrace{\int_{\pmb x_0\to\pmb x_n}\pmb q\cdot\bar{\pmb u}\mathrm{d}x}_\text{分布荷重による仕事}=\underbrace{\int_{\pmb x_0\to\pmb x_n}\frac{N\bar N}{EA}\mathrm{d}x+\int_{\pmb x_0\to\pmb x_n}\frac{M\bar M}{EI}\mathrm{d}x}_\text{内部仮想仕事}+\underbrace{\pmb F_0\cdot\bar{\pmb{u}}_0+M_0\cdot-\bar\theta_0}_\text{始点での仮想仕事}ー(6)
分岐・合流地点にて境界項$ N\bar u_x+Q\bar u_y-M\bar\thetaが余ってしまう
https://kakeru.app/dfb0f938e98eb78ecdfc372c3469b6e0 https://i.kakeru.app/dfb0f938e98eb78ecdfc372c3469b6e0.svg
2023-05-31 08:53:13 あ、わかった
バラせば、足して0になる
$ \pmb F_1'\cdot\bar{\pmb u}_a-M_1'\bar\theta_1'+\pmb F_2'\cdot\bar{\pmb u}_a-M_2'\bar\theta_2'=\pmb F_3'\cdot\bar{\pmb u}_a-M_3'\bar\theta_2'
……でいいのか？
力は力の釣り合いから0になるけど
曲げmomentの仕事のほうは、足して釣り合うかがわからない……わかるのかなこれ？
剛接合の場合
全ての回転角が等しくなるので、力のmomentの釣り合いから曲げmomentの項も0になる
そもそも曲げmomentが0になるので考えなくていい
https://kakeru.app/04149623d6b4716092ad8e15a52a21f3 https://i.kakeru.app/04149623d6b4716092ad8e15a52a21f3.svg
連続体の境界で面積分するから