自然基底におけるLaplacianの成分表示
$ \bm\nabla^2\bullet=\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial\bar e_i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bar\bm e_i\cdot\bm\nabla\bullet\right)
$ \bulletには任意階tensorを入れられる
なお、1階以上のtensorを入れる場合は、この形だとまずい
$ \bm\nabla内でtensorに含まれる基底の微分を計算しないといけない
共変微分を使うことになるだろうなあtakker.icon 導出
$ \bm\nabla^2\bullet=\bm\nabla\cdot\bm\nabla\bullet
$ =\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)
$ \underline{\therefore\bm\nabla^2\bullet=\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)\quad}_\blacksquare
このように秒で証明できるtakker.icon
すべて計算する場合
$ \bm\nabla^2\bullet=\bm e^i\frac{\partial}{\partial e^i}\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}
$ = \bm e^i\cdot\bm e^j\frac{\partial^2\bullet}{\partial e^i\partial e^j}+\bm e^i\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ij}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}
$ = \bm e^i\cdot\bm e^j\frac{\partial^2\bullet}{\partial e^i\partial e^j}-\bm e^j\cdot\bm\Gamma^{\sf E\bar E}_{ii}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}+\frac{\partial\bm e^i\cdot\bm e^j}{\partial e^i}\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}
$ =\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\bm e^i\cdot\bm e^j\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}\right)+\bm e^j\cdot\bm\nabla\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\frac{\partial\bullet}{\partial e^j}
$ =\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)+\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\ln\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\right)\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet
$ = \frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)
$ \underline{\therefore\bm\nabla^2\bullet=\frac1{\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}}\frac{\partial}{\partial e^i}\left(\sqrt{\det[\bm I]^{\sf EE}}\bm e^i\cdot\bm\nabla\bullet\right)\quad}_\blacksquare