Laplacianの座標変換

$ \pmb\nabla^2=[\pmb\nabla]^{\sf E}_i[\pmb\nabla]^{\sf\bar E}_i

二次元平面でのlaplacian成分を求める

何らかの正規直交基底を$ \sf E($ \pmb e_i)、極座標での基底を$ \sf R($ \pmb e_{ri})とする

$ \pmb r=r_0\cos r_1\pmb e_0+r_0\sin r_1\pmb e_1

$ \bar{\pmb e}_{r0}=\cos r_1\pmb e_0+\sin r_1\pmb e_1

$ \bar{\pmb e}_{r1}=-r_0\sin r_1\pmb e_0+r_0\cos r_1\pmb e_1

laplacianを$ \sf Rの共変パラメタ$ r_1,r_0で求める

$ \pmb\nabla^2=[\pmb\nabla]^{\sf R}_i[\pmb\nabla]^{\sf\bar R}_i

$ =[\pmb\nabla]^{\sf\bar R}_i[\pmb\nabla]^{\sf\bar R}_j[\pmb I]^{\sf RR}_{ij}

$ =[\pmb I]^{\sf RR}_{ij}\frac{\partial}{\partial r_i}\frac{\partial}{\partial r_j}

ここで、

$ [\pmb I]^{\sf\bar R\bar R}=\begin{pmatrix}1&0\\0&r_0^2\end{pmatrix}

$ \iff[\pmb I]^{\sf RR}=\begin{pmatrix}1&0\\0&r_0^2\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}\frac1{r_0^2}&0\\0&1\end{pmatrix}

より

$ \pmb\nabla^2=\frac{\partial^2}{{\partial r_0}^2}+\frac1{r_0^2}\frac{\partial^2}{{\partial r_1}^2}

$ r_0=r,r_1=\thetaを代入すると、極座標のLaplacianが求まる

$ \underline{{\pmb\nabla}^2=\frac{\partial^2}{{\partial r}^2}+\frac1{r^2}\frac{\partial^2}{{\partial\theta}^2}\quad}_\blacksquare

……と導いたのだが誤りらしい

どこで間違えた？

調べてみる

$ \sqrt{\det g}が必要？

そうだ。$ \pmb\nabla\cdot\pmb\nablaは、前の$ \pmb\nablaが後ろの$ \pmb\nablaの基底を微分してしまうんだ

その影響を考えていなかった

$ \therefore \pmb\nabla^2=\pmb e_i\cdot\frac{\partial}{\partial e_i}\left(\pmb e_j\frac{\partial}{\partial e_j}\right)

$ =[\pmb\nabla]^{\sf\bar E}_j\left([\pmb\nabla]^{\sf\bar E}_i[\pmb I]^{\sf EE}_{ij}+\pmb e_i\cdot\pmb\Gamma^{\sf\bar EE}_{ij}\right)

あー！これが共変微分というやつか

https://kakeru.app/fca7f8d93544a5f0b566bfe8f98f9d16 https://i.kakeru.app/fca7f8d93544a5f0b566bfe8f98f9d16.svg

バチクソに複雑なのだが？

あっているのかこれ？

2024-01-15 08:28:24 やりなおし