測度
対象の「大きさ(面積、体積、確率、etc.)」を抽象的に取り扱うために用意された函数
定義
M1. $ \forall F\in{\cal F};\mu(F)\ge0
$ \mu:{\cal F}\to\R_{\ge0}と函数の定義に含めることも可能
M2. (σ-加法性)$ \forall A:\N\to{\cal F};(\forall i,j\in\N;A_i\cap A_j=\varnothing)\implies\mu\left(\bigcup_{i\in\N}A_i\right)=\sum_{i\in\N}\mu(A_i) 性質
M2'. $ \forall A,B\in\mathfrak F;A\cap B=\varnothing\implies P(A\cup B)=P(A)+P(B)
証明:M2を2個の和に減らしただけ
M2'はM3∧M4と同値
M3. $ P(\varnothing)=0
証明:$ {\rm M2'}\implies \mu(\varnothing\cup\varnothing)=\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)=2\mu(\varnothing)\implies \mu(\varnothing)=0
M4. $ \forall A,B\in\mathfrak F;\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)
証明:
$ Aと$ B\setminus (A\cap B)に分けて足し引きする
$ {\rm M2'}\implies\forall A,B\in\mathfrak F;\begin{dcases}\mu(A\cup(B\setminus(A\cap B)))&=\mu(A)+\mu(B\setminus(A\cap B))\\\mu(B)&=\mu(B\setminus(A\cap B))+\mu(A\cap B)\end{dcases}
$ \iff\forall A,B\in\mathfrak F;\begin{dcases}\mu(A\cup B)&=\mu(A)+\mu(B\setminus(A\cap B))\\\mu(B)&=\mu(B\setminus(A\cap B))+\mu(A\cap B)\end{dcases}
$ \implies\forall A,B\in\mathfrak F;\mu(A\cup B)-\mu(B)=\mu(A)-\mu(A\cap B)
$ \iff\forall A,B\in\mathfrak F;\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)
逆はM4.に$ A\cap B=\varnothingを代入しM3を使えば求まる