測度 - くたくたじゅうよん

測度

対象の「大きさ(長さ、面積、体積、確率、etc.)」を抽象的に取り扱うために用意された集合函数

定義

任意の可測空間$ (\Omega,\mathcal F)にて、以下を満たす$ \mu:{\cal F}\to\overline\R_{\ge0}を測度(measure)という

(P1)$ \mu(\varnothing)=0

(P2)完全加法性$ \forall A:\N\to{\cal F}:(\forall i,j\in\N:A_i\cap A_j=\varnothing)\implies\mu\left(\bigcup_{i\in\N}A_i\right)=\sum_{i\in\N}\mu(A_i)

$ \overline\R：拡大実数

もし値域が$ \R_{\ge0}であれば(P2)から(P1)を導出できるが、$ \overline{\R}_{\ge0}のときは(P1)を明示的に入れないといけない

形式的定義 | 測度 - Wikipediaによると、$ \muの値域に$ \inftyが含まれてもいいらしい

逆に、$ \muが常に有限値になるときは、σ-有限測度と呼び分けるらしい？

どう定義するか、いくつか流儀がありそうtakker.icon

性質

完全加法の性質を参照

References

あえて完全加法のことを名前に入れるなら

ともいえる。ただ完全加法性がdefaultだから単に「測度」と呼ぶことがほとんど