完全加法
定義
任意の可測空間$ (\Omega,\mathcal F)にて、集合函数$ \mathcal\mu:\mathcal F\to\Rが次を満たすとき、$ \muは完全加法的であるという。 $ \forall A:\N\to{\cal F}:(\forall i,j\in\N:A_i\cap A_j=\varnothing)\implies\mu\left(\bigcup_{i\in\N}A_i\right)=\sum_{i\in\N}\mu(A_i)
互いに素な可測集合$ A_iの可算無限和は、函数$ \muと順序を交換できるということtakker.icon 性質
1. $ \forall A,B\in\mathcal F:A\cap B=\varnothing\implies P(A\cup B)=P(A)+P(B)
証明：可算無限和を2つの和に減らしただけ
2. $ P(\varnothing)=0
証明：$ \text{1.}\implies \mu(\varnothing\cup\varnothing)=\mu(\varnothing)+\mu(\varnothing)=2\mu(\varnothing)\implies \mu(\varnothing)=0
3. $ \forall A,B\in\mathcal F:\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)
証明：
$ Aと$ B\setminus (A\cap B)に分けて足し引きする
$ \text{1.}\implies\forall A,B\in\mathcal F:\begin{dcases}\mu(A\cup(B\setminus(A\cap B)))&=\mu(A)+\mu(B\setminus(A\cap B))\\\mu(B)&=\mu(B\setminus(A\cap B))+\mu(A\cap B)\end{dcases}
$ \iff\forall A,B\in\mathcal F:\begin{dcases}\mu(A\cup B)&=\mu(A)+\mu(B\setminus(A\cap B))\\\mu(B)&=\mu(B\setminus(A\cap B))+\mu(A\cap B)\end{dcases}
$ \implies\forall A,B\in\mathcal F:\mu(A\cup B)-\mu(B)=\mu(A)-\mu(A\cap B)
$ \iff\forall A,B\in\mathcal F:\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)
$ \text{1.}\iff\text{2.}\land\text{3.}が成り立つ
同義・表記揺れ
Referencs