数学の基礎17位相

$ \forall X\forall\mathcal F\in 2^{2^X}にて、$ \mathcal Fが有限交叉性を持つとき、その有限部分集合$ \mathcal F'について

$ \forall U\in 2^X.\bigcap\mathcal F'\subseteq U\implies U\in\mathcal F (17-1)

が成り⽴つとき、$ \mathcal Fを半順序集合$ (2^X,\subseteq)のfilter (数学)と呼ぶ

1行で表すと

$ \mathcal Fは$ (2^X,\subseteq)のfilterである$ :\iff\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.\left(|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\implies\begin{dcases}\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(\bigcap\mathcal F'\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}\right)ー17.1

数学の基礎17位相では半順序集合を使わずにfilterを定義しているようだtakker.icon

https://ja.wikipedia.org/wiki/フィルター_(数学)#冪集合の上のフィルターに相等するみたい

例：冪集合の単項filter

$ \mathcal F\in2^{2^X}が$ (2^X,\subseteq)上のfilter (数学)であることは、次の4式の論理積と同値である

$ \forall F\in\mathcal F.F\neq\varnothing(17-2a)

有限交叉性だけから求まる

$ X\in\mathcal F(17-2b)

$ \forall F_1,F_2\in\mathcal F.F_1\cap F_2\in\mathcal F(17-2c)

$ \forall U\in2^X.\bigcup\mathcal F\subseteq U\implies U\in\mathcal F(17-2d)

証明

17.1→(17-2a),(17-2b),(17-2c),(17-2d)

(17-2a)と(17-2b)

$ \forall F\in2^X.

$ F\in\mathcal F

$ \implies\begin{dcases}\bigcap\{F\}\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(\bigcap\{F\}\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \because17.1に$ \mathcal F'=\{F\}を代入

$ \iff\begin{dcases}F\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(F\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \implies\begin{dcases}F\neq\varnothing\\F\subseteq X\implies X\in\mathcal F\end{dcases}

$ U=Xを代入

$ \iff F\neq\varnothing\land X\in\mathcal F

$ \underline{\therefore(\forall F\in2^X.F\neq\varnothing)\land X\in\mathcal F\quad}_\blacksquare

(17-2c)

$ \forall F_1,F_2\in2^X.

$ F_1,F_2\in\mathcal F

$ \implies\begin{dcases}\bigcap\{F_1,F_2\}\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(\bigcap\{F_1,F_2\}\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \because17.1に$ \mathcal F'=\{F_1,F_2\}を代入

$ \iff\begin{dcases}F_1\cap F_2\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(F_1\cap F_2\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \implies(F_1\cap F_2\subseteq F_1\cap F_2\implies F_1\cap F_2\in\mathcal F)

$ \iff F_1\cap F_2\in\mathcal F

$ \underline{\therefore\forall F_1,F_2\in2^X.F_1\cap F_2\in\mathcal F\quad}_\blacksquare

(17-2d)

これはどうすればいいんだろうtakker.icon

17.1から、$ \mathcal Fの任意の有限部分集合$ \mathcal F'に対して$ \forall U\in2^X.\bigcup\mathcal F'\subseteq U\implies U\in\mathcal Fだとは言えるけど、この$ \mathcal F'を$ \mathcal Fに拡張する方法がわからない

有限部分集合の和で$ \bigcup\mathcal Fを覆えれば示せるけど……

16:41:22 わかったtakker.icon

入れ子に17-1を適用すればいい

(17-2b)

$ \implies\begin{dcases}\bigcap\{X\}\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(\bigcap\{X\}\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \because17.1に$ \mathcal F'=\{V\}を代入

$ \implies\forall U\in2^X.(X\subseteq U\implies U\in\mathcal F)

$ \implies(X\subseteq\bigcup\mathcal F\implies\bigcup\mathcal F\in\mathcal F)

$ \iff\bigcup\mathcal F\in\mathcal F

$ \implies\begin{dcases}\bigcap\left\{\bigcup\mathcal F\right\}\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.(\bigcap\left\{\bigcup\mathcal F\right\}\subseteq U\implies U\in\mathcal F)\end{dcases}

$ \because17.1に$ \mathcal F'=\left\{\bigcup\mathcal F\right\}を代入

$ \implies\begin{dcases}\bigcup\mathcal F\neq\varnothing\\\forall U\in 2^X.\bigcup\mathcal F\subseteq U\implies U\in\mathcal F\end{dcases}

$ \underline{\therefore\forall U\in2^X.\bigcup\mathcal F\subseteq U\implies U\in\mathcal F\quad}_\blacksquare

(17-2a),(17-2b),(17-2c),(17-2d)→17.1

$ \top

$ \implies X\neq\varnothing

$ \because(17-2a),(17-2b)

$ \implies\begin{dcases}\bigcap\varnothing\neq\varnothing\\\forall n\in\Z_{\ge0}.\end{dcases}

$ \forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|=n\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)ー①

$ \implies\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.

$ |\mathcal F'|=n+1

$ \iff\exist F\in\mathcal F'.|\mathcal F'\setminus\{F\}|=n

$ \iff\exist F\in\mathcal F'.|\mathcal F'\setminus\{F\}|=n\land\bigcap(\mathcal F'\setminus\{F\})\neq\varnothing

$ \because①

$ \iff\exist F\in\mathcal F'.|\mathcal F'\setminus\{F\}|=n\land\bigcap(\mathcal F'\setminus\{F\})\neq\varnothing\land\bigcap\mathcal F'\in\mathcal F

$ \because(17-2c)

$ \implies\exist F\in\mathcal F'.|\mathcal F'\setminus\{F\}|=n\land\bigcap(\mathcal F'\setminus\{F\})\neq\varnothing\land\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing

$ \because(17-2a)

$ \implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing

$ \implies\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|=n+1\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)

$ \implies\forall n\in\Z_{\ge0}\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|=n\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)

$ \because数学的帰納法

$ \iff\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)

17-1を証明する手立てがわからないtakker.icon

(17-2d)を使えばいいようだが……

(17-2d)は集合の相等関係と両立する

ここどういう意味かわからないtakker.icon

$ X上の有限交叉的な$ \mathcal F\in 2^{2^X}にて、$ \operatorname{fil}\mathcal F:=\{U\in2^X|\exist\mathcal F'\subseteq\mathcal F.|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\land\bigcap\mathcal F'\subseteq U\}を$ \mathcal Fの生成するfilter (数学)と呼ぶ

https://old.math.jp/wiki/フィルターによる位相空間論#定義1.5_（フィルターの生成と単項フィルター）

$ \operatorname{fil}\mathcal Fがfilterになることを示す

$ \forall\mathcal F'\subseteq\operatorname{fil}\mathcal F.

$ |\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}

$ \implies\bigcap\mathcal F'=\{x\in2^X|\forall F\in\mathcal F'.x\in F\}

$ =\{x\in2^X|\forall F\in2^X.((\exist\mathcal F''\subseteq\mathcal F.|\mathcal F''|\in\Z_{\ge0}\land\bigcap\mathcal F''\subseteq F)\implies x\in F)

$ \implies\forall U\in2^X.

$ \bigcap\mathcal F'\subseteq U

$ \iff|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\land\bigcap\mathcal F'\subseteq U

$ \operatorname{fil}\mathcal Fは、$ \mathcal F\subseteq\operatorname{fil}\mathcal Fを含む最小のfilterとなる

$ \forall\mathcal F,\mathcal G\in2^{2^X}.(\mathcal Fは有限交叉的$ \land\mathcal Gは$ (2^X,\subseteq)上のfilter (数学)$ \implies\operatorname{fil}(\mathcal F)\subseteq\mathcal G)

証明：

ちなみに、$ \mathcal Fが有限交叉的でないとすると、$ \exist\mathcal F'\subseteq\mathcal F.|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\land\bigcap\mathcal F'=\varnothingとなるため、$ \operatorname{fil}\mathcal F=2^Xが成立するtakker.icon

$ X上のfilter (数学)$ \mathcal F,\mathcal Gにて、$ \mathcal F\subseteq\mathcal Gのとき$ \mathcal Gは$ \mathcal Fより細かい、$ \mathcal F\supseteq\mathcal Gのとき粗いと表現する

上限filter

$ \forall X\forall \mathfrak F\in 2^{2^{2^F}}で、$ \forall\mathcal F\in\mathfrak Fが有限交叉性をもつとき、

$ \mathfrak Fは共終である$ :\iff\exist\mathcal G\in2^{2^X}.\mathcal Gは$ (2^X,\subseteq)のfilter (数学)$ \land\forall\mathcal F\in\mathfrak F.\mathcal F\subseteq\mathcal G

と定義する。

この$ \mathcal Gを上限filterと呼び、$ \mathcal G:=\sup\mathfrak Fと書く

順序集合における上限の定義と関係してるはずtakker.icon

おそらく$ (2^X,\subseteq)が半順序集合をなすところから来てるはず

共終な$ \mathfrak Fが2元集合$ \mathfrak F=\{\mathcal F_1,\mathcal F_2\}のとき、$ \sup\mathfrak F=\mathcal F_1\vee\mathcal F_2とも書く

ター G が存在するとき共終であるといいます。このとき ��IF��G ですから ��IF� は有限交

叉的です。

逆に、��IF� が有限交叉的ならば、G��fil ��IF� はすべての F� を含む最⼩のフィルターに

なり、{F� | ��I } は共終であることがわかります。またこの G のことを sup{F� | ��I } と書い

て、{F� | ��I } の上限フィルターと呼びます。

$ X上の有限交叉的な$ \mathcal Fと、$ f:X\to Yに対し

$ \mathcal Fの$ fによる2重逆像$ {f^\gets}^\gets(\mathcal F)が有限交叉的である

記号の定義

$ f^\gets(B)は$ fの逆像

$ f^\gets:2^Y\ni B\mapsto\{x\in X|f(x)\in B\}\in2^X

$ {f^\gets}^\gets(\mathcal F)=\{B\subseteq Y|f^\gets(B)\in\mathcal F\}=\{B\subseteq Y|\exist F\in\mathcal F\forall x\in X.(f(x)\in B\implies x \in F)\}

元文献では2重逆像を$ f_\sharp\mathcal Fと表記していたが、素直に$ {f^\gets}^\getsとしたtakker.icon

証明

$ \forall\mathcal G\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal F).

$ |\mathcal G|\in\Z_{\ge0}

$ \implies f^\gets(\bigcap\mathcal G)=\bigcap_{G\in\mathcal G} f^\gets(G)

有限集合だから、$ \bigcapを外に出せる

$ \subseteq\mathcal F

$ \because\mathcal G\subseteq{f^\gets}^\gets(\mathcal F)\implies\forall G\in\mathcal G.f^\gets(G)\in\mathcal F

$ \implies\bigcap f^\gets(\bigcap\mathcal G)\neq\varnothing

$ \because有限交叉的な集合の部分集合は有限交叉的

$ \therefore

$ {f^\to}^\to(\mathcal F)も有限交叉的である

$ f^\to(A)は$ fの像

$ f^\to:2^X\ni A\mapsto\{y\in Y|\exist x\in A\cap X.y=f(x)\}\in2^Y

$ {f^\to}^\to(\mathcal F)=\{B\subseteq Y|\exist F\in\mathcal F.B=f^\to(F)\}=\{B\subseteq Y|\exist F\in\mathcal F.B=\{y\in Y|\exist x\in F.y=f(x)\}\}

証明

$ \forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.

$ |\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}

$ \implies f^\to(\bigcap\mathcal F')\subseteq\bigcap_{F\in\mathcal F'} f^\to(F)

$ \implies \varnothing\neq f^\to(\bigcap\mathcal F')\subseteq\bigcap_{F\in\mathcal F'} f^\to(F)

$ \because\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing

$ \implies\bigcap_{F\in\mathcal F'}f^\to(F)\neq\varnothing

$ \therefore\forall\mathcal B\subseteq{f^\to}^\to(\mathcal F).

$ |\mathcal B|\in\Z_{\ge0}

$ \implies\bigcap\mathcal B\supseteq\bigcap_{F\in\mathcal F}f^\to(F)

f#F ��f��(F ) � {B�P (Y ) | f��(B)�F } は有限交叉的です。実際、G を f#F の任意の有限部分集合

とすると、(6-49c) により

(17-3) f��(�G) ��X��{ f��(B) | B�G }

で、右辺は有限交叉的な F の有限部分集合の共分なので元 a を持ち、したがって �G は

f(a) を元に持ちます。これは f#F が有限交叉的であることを⽰しています。

また、F の f による像 f��(F ) ��f��F � { f��(A) | A�F } �� { f A | A�F } も有限交叉的です。

実際、F の任意の有限部分集合 F ' に対し、(6-51c) により

(17-4) f �F ' ��{ f A | A�F ' }

が成り⽴ち、左辺は元を持つからです。

⼀般に

$ \operatorname{fil}{f^\gets}^\gets(\mathcal F)\subseteq\operatorname{fil}{f^\to}^\to(\mathcal F)\subseteq{f^\gets}^\gets(\operatorname{fil}\mathcal F)(17-5)

が成り立つ

実際、B�f#F なら f��(B)�F 、したがって f f��(B)�f��(F ) となりますが、f f��(B)��B です

から B�fil f��(F ) が成り⽴ちます。

また、B�fil f��(F ) なら、F の有限部分集合 F ' が存在して �{ f A | A�F ' }��B となります

が、各 A�F ' に対して A��f��( f A) が成り⽴ちますから

�F '��{ f��( f A) | A�F ' } ��f��(�{ f A | A�F ' }) ��f��(B) となり、f��(B)�filF すなわち

B�f# filF がわかります。

filter基

(17-6)を満たす有限交叉的な$ \mathcal Fをfilter基(filter基底)と呼ぶ

$ \forall F_1,F_2\in\mathcal F\exist F_3\in\mathcal F.F_3\subseteq F_1\cap F_2

C��A�B なら f C � f A�B � f A� f B ですか

ら、フィルター基底の像はやはりフィルター基底です。

F がフィルター基底なら、(17-5) の後者の包含関係は等号：

(17-7) fil f��(F ) � f# filF

になります。実際、B�f# filF すなわち f��(B) � filF とすると、F の有限部分集合 F ' が存在して

�F '��f��(B) となりますから、(17-6) と帰納法により A��f��(B) となる A�F が存在することが

わかり、f A��B ですから B�fil f��(F ) となります。

特に、F がフィルターなら、filF��F ですから、(17-5) により fil f #F � f #F となるので、f�F

もフィルターで

(17-8) f#F � fil f��(F )

が成り⽴つことがわかります。

また、写像 f : X��Y と g : Y��Z を考えると

(17-9) g# � f# ��g�� f�� ( f�� g�)�� (g � f )�� (g � f )#

が成り⽴ちます。

さて、集合 X の各点 x に対し、X のフィルター V (x) が与えられ、

(17-10a) V (x) � Px(X )

(17-10b) U�V (x) ��U��V (x)

を満たすとき、X に位相が与えられたといい、X と V の組 ( X, V ) を（あるいは略して X を）

位相空間といいます。ただし X の部分集合 A に対し、

(17-11) A�� { x�X | A�V (x) }

と置きました。V (x) を、この位相における x の近傍系とよび、その元を x の近傍といいます。

また X の部分集合 A に対し、A のすべての元の近傍になっている集合 U�P (X ) のことを A の近

傍とよび、A の近傍の全体を V (A) と書きます。

また、A� を A の内部とよび、その元を A の内点とよびます。特に O��O となる O�P (X ) を

開集合といいます。このとき

(17-12a) X��X

(17-12b) A��A

(17-12c) A��B��A��B�

(17-12d) A��A�

(17-12e) (A�B)��A��B�

が成り⽴ちます。

実際、(17-12a) は x�X��X�V (x) により明らかです。

また (17-12b) は x�A��A�V (x)��x�A により明らかです。

また (17-12c) は x�A��A�V (x)��B�V (x)��x�B� により明らかです。

また (17-12d) は、(17-10b) により x�A��A�V (x)��A��V (x)��x�A�� となることと、

(17-12b) の A に A� を代⼊したものにより逆向きの包含関係が得られるので明らかです。

また (17-12e) は x�(A�B)��A�B�V (x)��A, B�V (x)��x�A��B� により明らかです。

特に、(17-12d) により、任意の集合の内部は開集合ですが、更に O��A となる任意の開集合

O に対して O��O��A� ですから、A� は A に含まれる最⼤の開集合であることがわかります。

さて、逆に勝⼿な集合 X と、冪集合 P (X ) からそれ⾃⾝への写像 � が与えられ、(17-12) を満

たすとします。このとき

(17-13) V (x) �� { U�P (X ) | x�U�}

と置くと、V は X 上に位相を定めます。

実際、U�V (x) なら、定義と (17-12b) により x�U��U ですから、(17-10a) とフィルターの条

件 (17-2a) が成り⽴ちます。

また、(17-12a) により x�X��X�� ですから (17-2b) も成り⽴ちます。

また、U, V�V (x) なら x�U��V�� となるので (17-12e) により x�(U�V )� すなわち U�V�V (x)

となって (17-2c) が成り⽴ちます。

また、U�V (x) , U��V なら x�U� が成り⽴ち、更に (17-12c) により x�V�� となるので V�V (x)

となって (17-2d) が成り⽴ちます。

あとは (17-10b) を⽰せば証明が完成しますが、その前に、

(17-14) { x�X | A�V (x) } � { x�X | x�A� }��A�

ですから、(17-13) の V から (17-11) により定義した“A の内部”が、与えられた � による A� と相

等になることに注意します。このことと、フィルター V (x) が集合の相等と両⽴することによ

り、その⼀⽅が V (x) に属せば他⽅も属すことがわかります。

ゆえに U�V (x) すなわち x�U� なら (17-12d) により x�U�� すなわち U��V (x) となって、条件

(17-10b) が成り⽴つことがわかります。

以上で (17-13) で定義された V は X 上の位相を定め、その位相により定義された“内部”が、

与えられた � と相等になることがわかりました。

逆に、X に位相 V が与えられ、その位相による内部を � と書くとき、位相 V ' を (17-13) の右

辺で定義すると、

(17-15) V '(x) � { U�P (X ) | x�U�} � { U�P (X ) | U�V (x) } � V (x)

となって、両位相は⼀致します。

以上により、集合 X に位相 V を与えることと、X の冪集合上に (17-12) を満たす演算 � を与え

ることは同等であることがわかりました。

次に、O を、位相空間 ( X, V ) の開集合全体からなる集合とします。このとき O は次の性質

を満たします：

(17-16a) ( U�O��U��V )��V�O

(17-16b) X�O

(17-16c) U, V�O��U�V�O

(17-16d) O'��O��O'��O

実際、(17-16a) は、U��U と、(17-12c) による U��V�� により V��V となるので明らかで

す。

また、(17-16b) は (17-12a) により明らかです。

また (17-16c) は、U , V が開集合なら (17-12e) により U�V��U��V��(U�V )� となるので明ら

かです。

また (17-16d) は、U�O' なら U��O' なので、U が開集合であることと (17-12c) により、

U��U��( �O' )� となり、従って �O'��( �O' )� となりますから、これと (17-12b) により実は

�O'��( �O' )� となるので明らかです。

逆に、(17-16) を満たす O��P (P (X )) が与えられたとします。このとき、各 A��X に対し、

(17-17) A��{ O�O | O��A }

と置くと、� は (17-12) を満たすことを証明しましょう。

まず (17-16b) により (17-12a) は明らかです。

また、定義式 (17-17) により (17-12b),(17-12c) は明らかです。

また、(17-16d) により (17-17) の右辺は O に属すので、常に

(17-18) A��O

が成り⽴つことに注意します。このことから (12-12d) は明らかです。

また、(17-12c) により (A�B)��A� かつ (A�B)��B� が成り⽴ち、(17-12e) の左辺が右辺に含

まれることは明らかです。

逆に、(17-18) により A�, B��O であることと (17-16c) により、(17-12e) の右辺は A�B に含ま

れる O の元ですから (17-12e) の左辺に含まれます。これで (17-12e) は証明されました。

以上で (17-16) を満たす集合 O は X に位相を定めることがわかりました。

更に、(17-17) の � について、(17-18),(17-16a) により O��O��O�O ですから、O は、O が定

める位相の開集合全体に⼀致します。

逆に、位相空間が与えられ、その位相の開集合全体を O とすれば、集合 A の内部は A に含ま

れる最⼤の開集合でしたから、(17-17) の両辺は相等です。

以上により、集合 X に位相 V を与えること、X の冪集合上に (17-12) を満たす演算 � を与え

ること、(17-16) を満たす X の部分集合族を考えることはすべて同等であることがわかりまし

た。そこで、今後は“位相 V ”というかわりに“位相 � ”あるいは“位相 O ”という⾔い⽅もするこ

とにします。

ここで、開集合と近傍系を、間に � を挟まずに直接関連付けてみましょう。

U が x の近傍なら、U� は x を元に持ち U に含まれる開集合です。逆に x を元に持つ開集合 O

は、x�O� ですからこれは O が x の近傍であることを意味し、近傍系はフィルターですから O

を含む集合は x の近傍です。したがって、x の近傍とは、x を含む開集合を含む集合のことに他

なりません。x を元に持つ開集合の全体はフィルター基底ですから、

(17-19) V (x) � fil{ O�O | x�O }

と書くこともできます。

次に位相空間におけるフィルターの収束、集積、及び位相空間から位相空間への写像に関す

る連続という概念を考察します。

位相空間 X のフィルター F は、x�X の近傍系 V (x) より細かいとき x に収束する、あるいは

x を極限に持つといい、V (x) と共終のとき x に集積する、あるいは x を集積点に持つといいま

す。また有限交叉的集合についても、それの⽣成するフィルターが収束⼜は集積するとき収束

⼜は集積するといいます。

明かに、x に収束するフィルターは x に集積します。また、x に収束するフィルターより細か

いフィルターも x に収束し、逆に x に集積するフィルターより粗いフィルターも x に集積しま

す。

フィルターの収束点や集積点は、いつでも存在するとは限りませんし、また存在したとして

も⼀意的とは限りません。

次に、( X, V ) と ( Y, V ' ) を位相空間とするとき、写像 f : X��Y は、x の近傍系の f による⼆

重逆像が f(x) に収束するとき x で連続であるといいます（なお、(17-7) により、“⼆重逆像”とい

うところを“像”と⾔い換えても同じです）。

これは f#V (x) � V '( f(x)) すなわち f(x) の任意の近傍 V に対して f��(V ) が x の近傍である、⾔

い換えると f(x) の任意の近傍 V に対して x の近傍 U が存在して f U��V となることを意味しま

す。

f : X��Y は、A��X のすべての点で連続なとき A で連続、X で連続なとき単に連続であると

いいます。

f は位相空間 ( X, V ) から位相空間 ( Y, V ' ) への写像、g は位相空間 ( Y, V ' ) から位相空間

( Z, V " ) への写像で f は x で連続、g は f(x) で連続とすれば、(17-9) により

(17-20) (g � f )#V (x) � g# f#(V (x)) � g#V '( f(x)) � V "( g( f(x)))

となりますから、g � f は x で連続であることがわかります。したがって連続関数の合成は連続

です。

次に f の連続性を � や開集合の⾔葉で⾔い換えてみましょう。

f : X��Y が連続であるということは、�x��B B�V ( f(x)) ��f��(B)�V (x) と表わされます

が、これは更に �B��x f(x)�B��x�f��(B)� と変形できるので、f が連続であることと、任意

の B�P (Y ) に対して

(17-21) f��(B�) ��f��(B)�

が成り⽴つこととは同値です。

特に、B として開集合 O を取れば、

f��(O) ��f��(O�) ��f��(O)� となるので、これと (17-12b) により f��(O) は開集合であることがわかり

ます。逆に開集合の逆像が常に開集合なら、任意の B�P (Y ) に対して f��(B�) � f��(B�)��f��(B)�

すなわち (17-21) が成り⽴ちます。すなわち f が連続であるための条件は、開集合の f による逆

像が常に開集合になることです。

さて、集合 X 上の位相 O と、写像 f : X��Y に対し、f の⼆重逆像 f# を⽤いて

(17-22) f#O �� { U�P (Y ) | f��(U )�O }

と置くと、U��V��f��(U ) ��f��(V ) と f��(Y )��X と f��(U�V ) ��f��(U ) ��f��(V ) と

f��( �O' ) ��{ f��(O) | O�O' } が成り⽴つので f#O も (17-16) を満たします。さらに、Y にも位相

O' が与えられたとき、f が連続であるための条件は、

(17-23) O'��f#O

と書くことができます。また、X 上の位相の族 { O� | ��I } に対し、その包含関係に関する下限

である共分：

(17-24) inf { O� | ��I } ��{ O� | ��I }

は明らかに (17-16) を満たし、X の位相を定めます。(17-22),(17-24) により

(17-25) f#(inf { O� | ��I }) ��f��(�{ O� | ��I }) ��f��(O� ) | ��I } � inf { f#O� | ��I }

が成り⽴ちます。

さて次に、位相と両⽴する同値関係について考察します。位相空間 ( X, V ) の同値関係 �

は、

(17-26) x ��y�� V (x) � V ( y)

を満たすとき、位相と両⽴するといい、位相空間に位相と両⽴する同値関係を併せて考えたも

のを同値関係を持つ位相空間ということにします。

また、位相空間 ( X, V ) において (17-26) の右辺により X の２項関係 x��y を定義すると、こ

れは明らかに X の位相と両⽴する（関係の包含関係として）最⼤の同値関係です。これを、X

の位相に伴う同値関係ということにします。

なお、ここで

(17-27) ( �U�V (x) : y�U ) �� ( �U�V ( y) : x�U ) �� V (x) � V ( y)

が成り⽴つことに注意します。

実際、� は (17-10a) により明らかですし、左辺を仮定すれば、任意の U�V (x) に対し、

(17-10b) により U��V (x) となるので仮定により y�U� すなわち U�V ( y) がわかり、

V (x) � V ( y) が得られます。同様にして V ( y) � V (x) もいえるので、(17-27) の右辺が導かれま

す。

さて、f を位相空間 ( X, V ) から位相空間 ( Y, V ' ) への連続写像、� を X の位相と両⽴する同

値関係、�' を Y の位相に伴う同値関係とすれば、f は、これらの同値関係に関して関数になりま

す。

実際、x��y と仮定します。任意に U�V '( f(x)) を取ると、f の連続性と � が X の位相と両⽴す

ることにより f��(U )�V (x) � V ( y) となります。ゆえに (17-10a) により y��f��(U ) すなわち

f( y)�U が得られます。同様に、任意に U�V '( f( y)) を取ると f(x)�U が導かれます。ゆえに

(17-27) により V '( f(x)) � V '( f( y)) すなわち f(x) �' f( y) がわかります。

さて、同値関係 x��y が位相と両⽴するための条件を � ⼜は O によって表現してみましょう。

(17-11) により、(17-26) は

(17-28) x ��y��A�P (X ) : ( x�A��y�A� )

が成り⽴つことと同値です。したがって、開集合を使って書けば

(17-29) x ��y��O�O : ( x�O��y�O )

とも同値です。これは“同値関係がすべての開集合と両⽴する”ということに他なりません。

さて、同値関係を持つ位相空間を対象、連続関数を射とよべば、これは⼀つの圏を構成しま

す。この圏を位相空間の圏とよぶことにします。

位相空間において、その位相構造を“忘れ”ると、集合の圏と考えることができます。(17-25),

(17-9) の関係は、それぞれ第９節の (9-18a),(9-18b) に他なりませんから、第９節の議論が適⽤で

きて、位相空間の圏は完備かつ余完備であり、位相構造を“忘れる”関⼿は極限保存関⼿かつ余

極限保存関⼿であることがわかります。

なお、等号を持つ集合 Y から位相空間 ( X, V ) への⼀対⼀関数 i : Y��X による Y 上の導⼊位

相を部分（位相）空間といいます。

双対的に、位相空間 ( X, V ) から等号を持つ集合 Z への上への関数 p : X��Z による Z 上の余

導⼊位相を商（位相）空間といいます。

さて、次に第９節の議論（の双対）により f# から作られる f # を具体的に調べてみましょう。

これは (9-20)：

(17-30) f #O��O'��O�� f#O'

によって特徴づけられます。右辺は { f��(O) | O�O }��O' と書くことができますが、この

{ f��(O) | O�O } �� { O'�P (X ) | �O�O : O'��f��(O) } という集合は明らかに (17-16) を満たします

から、

(17-31) f #O � { f��(O) | O�O }

となることがわかります。

特に、(17-31) を位相空間 X の部分空間 Y に適⽤すれば、Y の開集合とは、X の開集合 O の埋

め込み写像 i : Y��X による逆像 i�(O)��Y�O の形の集合のことであることがわかります。

さて、(17-31) と (17-19) を組み合わせると、位相 f #O の近傍系を ( f #V )(x) と書けば、

(17-32) ( f #V )(x) � fil{ f��(O) | O�O , x�f��(O) } � fil{ f��(U ) | U�V ( f(x)) }

となることがわかります。また、{ Vi | i�I } を X の位相の族とするとき、

(17-33) V (x) � fil( �{ Vi(x) | i�I })

と置けば、これは (17-10) を満たします。

実際、(17-10a) は明らかです。

また、(17-10b) を⽰すために U�V (x) とすると、I の有限部分集合 J と、各 i�J に対する

Vi�Vi(x) が存在して �{ Vi | i�J }��U となり、各 i�J に対し、Wi��{ z�X | Vi�Vi(z) }�Vi(x) で

すから W��{ Wi | i�J }�V (x) となります。⼀⽅、Vi(z) � V (z) ですから

Wi��{ z�X | Vi�V (z) } となり、従って W��{ z�X | �i�J : Vi�V (z) } � { z�X | U�V (z) } ですから

{ z�X | U�V (z) }�V (x) となります。

以上で、(17-33) の V (x) は { Vi | i�I } の上限位相を定めることがわかりました。

さて、位相空間から位相空間への写像は、任意の開集合の像が開集合になるとき開写像とい

います。f : X��Y が開写像であるための必要⼗分条件は

(17-34) �A�P (X ) : f A� �� f A�

が成り⽴つことです。

実際、f が開写像なら、左辺は f A に含まれる開集合ですから f A の内部に含まれます。逆

に (17-34) が成り⽴てば、特に A として開集合を取れば、左辺は f A となり、これは⾃分⾃⾝

の内部に含まれ、従って⼀致するので開集合となります。

⼀⽅、(17-34) は

(17-35) �B�P (Y ) : f��(B)�� f��(B�)

とも同値です。

実際、(17-34) を仮定し、任意の B�P (Y ) に対して A��f��(B) と置くと、f A��B なので、

f A� � f A��B� つまり A��f��(B�) となるので (17-35) が得られ、逆に (17-35) を仮定し、任

意の A�P (X ) に対して B��f A と置くと、A��f��(B) なので、A��f��(B)��f��(B�) つまり

f A��B� となるので (17-34) が得られます。

#2025-01-20 15:17:04