有限交叉的な集合の部分集合は有限交叉的
$ \forall X\forall\mathcal F\in2^{2^X}.\mathcal Fは有限交叉的$ \implies\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.\mathcal F'は有限交叉的 証明
$ \forall X\forall\mathcal F\in 2^{2^X}.
$ \mathcal Fは有限交叉的
$ \iff\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)
$ \implies\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F\forall\mathcal F''\subseteq\mathcal F'
$ |\mathcal F''|\in\Z_{\ge0}
$ \implies\bigcap\mathcal F''\neq\varnothing
$ \because\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.(|\mathcal F'|\in\Z_{\ge0}\implies\bigcap\mathcal F'\neq\varnothing)に$ \mathcal F'=\mathcal F''を代入
$ \iff\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F\forall\mathcal F''\subseteq\mathcal F'.(|\mathcal F''|\in\Z_{\ge0}\implies\bigcap\mathcal F''\neq\varnothing)
$ \iff\forall\mathcal F'\subseteq\mathcal F.\mathcal F'は有限交叉的