数ベクトル空間
数の組$ (x_1,x_2,\cdots,x_n)を線型空間とみたもの 中学・高校数学で取り扱うベクトル空間がこれに当たる
任意の体$ \bf Kに対して、線型空間をなす$ \mathbf K^n:=((K^n,+),\mathbf K,\cdot)を$ n次元$ \bf K-数ベクトル空間と呼ぶ 関連概念
$ e_1:=(1,0,\cdots,0),e_2:=(0,1,\cdots,0),\cdots,e_n:=(0,0,\cdots,1)としたとき、$ e_\bulletは$ \mathbf K^nの基底となる $ (\R^n,\R,+,\cdot)を$ n次元数空間と呼ぶ
テキストでは$ \R^nを数空間と呼んでいるが、集合に構造を導入したものを空間 (数学)と呼びたいので、定義をずらしたtakker.icon $ (\R^n,\R,+,\cdot)は線型空間である
$ (a^0,a^1,\cdots,a^{n-1})を$ n次元数vectorと呼ぶ $ K 上の線型空間$ V の基底$ \sf E にて、$ \underline V\ni\bm a\mapsto[\bm a]^{\sf E}\in\underline K^{\dim V} は全単射をなす
さらにこれは2項演算$ +,\cdotを保存する
$ Vにおける演算が、数空間における同じ演算でそのまま表現される
つまり、$ Vと$ (\underline K^n,\underline K,+,\cdot)は同型をなす これにより、$ n次元線型空間は全て同一視できるため、実質存在したら一意であるとみなしてもいい
なお、$ n次元線型空間の存在自体は、$ n=\dim(\underline K^n,\underline K,+,\cdot)を証明できれば十分
テキストでは解説編Iで後述している
同義