堆積点 - くたくたじゅうよん

堆積点

$ \forall X\forall x\in X\forall\mathcal F\in\mathscr F_Xにて、

$ xは$ \mathcal Fの堆積点(clusterd point)$ :\iff\forall F\in\mathcal F\forall N\in\mathcal N(x):N\cap F\neq\varnothing

$ \iff\forall F\in\mathcal F:x\in\Set{x\in X|\forall N\in\mathcal N(x):N\cap F\neq\varnothing}

$ \iff\forall F\in\mathcal F:x\in\overline{F}

$ \iff x\in\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}

$ \mathcal N(x)：全近傍系

$ \mathscr F_X：$ Xのfilter (数学)全体の集合

性質

$ \forall X\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}=\Set{x\in X|\exist G\in\mathscr F_X:\mathcal F\subseteq\mathcal G\to x}

proof

$ \forall X\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}= \bigcap_{F\in\mathcal F}\Set{x\in X|\exist\mathcal G\in\mathscr F_X:F\in\mathcal G\to x}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F\forall N\in\mathcal N(x):N\cap F\neq\varnothing}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F:\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap F}}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F:\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap F}\neq\varnothing}

$ \because∀x∈X(X∈𝒩(x))より$ X\cap F\in\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap F}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F:\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap F}\rang_X\in\mathscr F_X}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F:\mathcal F\subseteq\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap F}\rang_X\in\mathscr F_X}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F\exist\mathcal G\in\mathscr F_X:F\in\mathcal G\to x}

$ =\Set{x\in X|\forall F\in\mathcal F\exist\mathcal G\in\mathscr F_X:F\in\mathcal G\land\mathcal N(x)\subseteq\mathcal G}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\supseteq\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X\land\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\subseteq\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\subseteq\mathcal F}

$ \because\forall X\forall A\in2^X\setminus\Set{\varnothing}\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal F\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X

$ \left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\subseteq\mathcal F\in\mathscr F_Xの時点で$ A\neq\varnothingを暗に含んでいる

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\in\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N,A\in\mathcal F}

$ \because∀F1,F2∈2^X(F1∩F2∈ℱ⇔F1,F2∈ℱ)

$ \forall A\in2^X:\overline{A}=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\to x}

$ \because\forall A\in2^X:\overline{A}

$ =X\setminus(X\setminus A)^\circ

$ =X\setminus\Set{x\in X|X\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|X\setminus A\notin\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|X\setminus A\notin\lang\mathcal N(x)\rang_X}

$ \because∀x∈X(⟨𝒩(x)⟩X⊆𝒩(x))

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\subseteq X\setminus A:N\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N: N=(N\cap X)\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\subseteq X: N=N\setminus A\in\mathcal N(x)}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N=N\setminus A}

$ =\Set{x\in X|\lnot\exist N\in\mathcal N(x):N\cap A=\varnothing}

$ =\Set{x\in X|\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}}

$ =\Set{x\in X|\varnothing\notin\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\neq\varnothing}

$ \because∀x∈X(X∈𝒩(x))より$ X\cap A\in\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}

$ =\Set{x\in X|\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X\land\lang\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\rang_X\subseteq\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:\left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\subseteq\mathcal F}

$ \because\forall X\forall A\in2^X\setminus\Set{\varnothing}\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\lang\left.\mathcal F\right|_{\cap A}\rang_X\in\mathscr F_X

$ \left.\mathcal N(x)\right|_{\cap A}\subseteq\mathcal F\in\mathscr F_Xの時点で$ A\neq\varnothingを暗に含んでいる

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N\cap A\in\mathcal F}

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X\forall N\in\mathcal N(x):N,A\in\mathcal F}

$ \because∀F1,F2∈2^X(F1∩F2∈ℱ⇔F1,F2∈ℱ)

$ =\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\supseteq\mathcal N(x)}

$ \underline{=\Set{x\in X|\exist\mathcal F\in\mathscr F_X:A\in\mathcal F\to x}\quad}_\blacksquare

ちょっとややこしくなったので後回しtakker.icon

いずれにせよ、 $ \forall X\forall\mathcal F\in\mathscr F_X:\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}=\Set{x\in X|\exist G\in\mathscr F_X:\mathcal F\subseteq\mathcal G\to x}となるのはほぼ正しい

当然、$ \Set{x\in X|\mathcal F\to x}\subseteq\bigcap_{F\in\mathcal F}\overline{F}である

さらに、極大filterだと次が成り立つ

$ \forall X\forall\mathcal F^*\in\mathrm{max}^*\mathscr F_X:\bigcap_{F\in\mathcal F^*}\overline{F}=\Set{x\in X|\mathcal F^*\to x}

$ \because\forall X\forall\mathcal F^*\in\mathrm{max}^*\mathscr F_X:

$ \bigcap_{F\in\mathcal F^*}\overline{F}=\Set{x\in X|\exist G\in\mathscr F_X:\mathcal F^*\subseteq\mathcal G\to x}

$ =\Set{x\in X|\exist G\in\mathscr F_X:\mathcal F^*=\mathcal G\to x}

$ \because\mathcal F^*\in\mathrm{max}^*\mathscr F_X

$ =\Set{x\in X|\mathcal F^*\to x}

日本語だと「集積点」という言い回しを使いがちだが、集積点と紛らわしいので「堆積点」と呼ぶことにする

https://old.math.jp/wiki/フィルターによる位相空間論#.E5.AE.9A.E7.BE.A92.1_.EF.BC.88.E3.83.95.E3.82.A3.E3.83.AB.E3.82.BF.E3.83.BC.E3.81.AE.E5.8F.8E.E6.9D.9F.E7.82.B9.E3.81.A8.E5.A0.86.E7.A9.8D.E7.82.B9.EF.BC.89 の言い回しを採用した

#2026-05-16 15:35:39

#2026-05-12 10:31:59