圧縮性流れの粘性係数を体積粘性率で書き換える
$ {\cal\pmb{D}}:\pmb{\sigma}=\pmb{\sigma}-\frac13\mathrm{tr}(\pmb{\sigma})\pmb{I}
$ =\pmb{\sigma}-\frac13(-3P+3\lambda(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+2\mu\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}
$ \lambdaは第二粘性率、$ \muは粘性係数 $ =\pmb{\sigma}+P\pmb{I}-\left(\lambda+\frac23\mu\right)(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}
$ =-\frac23\mu(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}+2\mu\pmb{d}
ここで、$ \pmb{\sigma}の等方成分$ \left(-P+\left(\lambda+\frac23\mu\right)(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\right)\pmb{I}のうち、圧力成分以外の項の係数$ \lambda+\frac23\muを体積粘性率$ \chiとして定義する ほとんど0らしい?
$ \rho\frac{\mathrm{D}\pmb{v}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P+\left(\chi+\frac13\mu\right)\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+\mu\pmb{\nabla}^2\pmb{v}
「体積」粘性率と呼ぶのは、$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{v}が体積膨張にかかわる量だから 膨張すると$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{v}>0に、収縮すると$ \pmb{\nabla}\cdot\pmb{v}<0になる
各地点にプロットした膨張・収縮の勾配が$ \pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})となる