圧縮性流れの粘性係数を体積粘性率で書き換える
$ \rho\frac{\mathrm{D}\bm v}{\mathrm{D}t}=\bm F-\bm\nabla P+\left(\chi+\frac13\mu\right)\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm v)+\mu\bm\nabla^2\bm v
「体積」粘性率と呼ぶのは、$ \bm\nabla\cdot\bm vが体積膨張にかかわる量だから 膨張すると$ \bm\nabla\cdot\bm v>0に、収縮すると$ \bm\nabla\cdot\bm v<0になる
各地点にプロットした膨張・収縮の勾配が$ \bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm v)となる
意味
やってみる
$ {\rm tr}\bm\sigma=-3P+3\lambda\bm\nabla\cdot\bm v+2\mu\bm\nabla\cdot\bm v
$ \because{\rm tr}\bm d={\rm tr}\bm\nabla\bm v=\bm\nabla\cdot\bm v
$ = -3P+(3\lambda+2\mu)\bm\nabla\cdot\bm v
$ {\cal\pmb{D}}:\bm\sigma=\bm\sigma-\frac13(\mathrm{tr}\bm\sigma)\bm I
$ =\bm\sigma+P\bm I-\left(\lambda+\frac23\mu\right)(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I
$ =-P\bm I+\lambda(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I+2\mu\bm d+P\bm I-\left(\lambda+\frac23\mu\right)(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I
$ =-\frac23\mu(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I+2\mu\bm d
$ \therefore\bm\sigma=\underbrace{-\frac23\mu(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I+2\mu\bm d}_\text{偏差成分}+\underbrace{\frac13(-3P+(3\lambda+2\mu)\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I}_\text{等方成分}
体積粘性率$ \chi:=\lambda+\frac23\muを代入すると $ \bm\sigma=-\frac23\mu(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I+2\mu\bm d+\frac13(-3P+3\chi\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I
$ =\underbrace{-\frac23\mu(\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I+2\mu\bm d}_\text{偏差成分}+\underbrace{(-P+\chi\bm\nabla\cdot\bm v)\bm I}_\text{等方成分}
ここでStokesの仮説$ \chi=0を仮定すると、応力の等方成分が圧力$ Pのみになる つまり、$ \chiは粘性応力の等方成分を表す係数だと言える $ \chi=0\lor\bm\nabla\cdot\bm v=0のときは、粘性による拘束圧 or 膨張圧が発生しない