冪集合の半順序集合
性質
$ \forall\mathcal A\subseteq2^X:\max\mathcal A=\sup\mathcal A=\bigcup\mathcal A
$ \forall\mathcal A\in2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}:\min\mathcal A=\inf\mathcal A=\bigcap\mathcal A
$ \forall\mathcal A\subseteq2^X:\bigcup\mathcal A\in 2^Xだから$ \max\mathcal Aが常に存在する
また$ \forall\mathcal A\in2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}:\bigcap\mathcal A\in 2^Xだから$ \min\mathcal Aも常に存在する
$ \because\forall\mathcal A\in2^{2^X}\setminus\{\varnothing\}:
$ x\in\bigcap\mathcal A
$ \iff\forall A\in\mathcal A:x\in A
$ \iff\forall A\in\mathcal A:x\in A\in 2^X
$ \implies x\in X
$ \forall A\in2^X\forall\mathcal X\subseteq 2^Xにて
$ Aが$ \mathcal Xの上界$ \iff\forall B\in\mathcal X:B\subseteq A 2元集合$ \{A,B\}\in2^{2^X}には常に上限は存在するのか？ $ Cが$ \{A,B\}の上界$ \iff A\cup B\subseteq C\subseteq X
$ C=\sup\{A,B\}\iff A\cup B\subseteq C\subseteq X\land\forall C'\in2^X:(A\cup B\subseteq C'\implies C\subseteq C')
$ A\cup Bなら上限の性質を満たす
同じ議論で$ A\cap B=\inf\{A,B\}といえるはずだから、$ (2^X,\cup,\cap)が束になる