ひずみエネルギ
$ \mathrm dt時間内での連続体$ B_t内部のエネルギー変化を$ \mathrm dWとすると、
$ \mathrm dW=\underbrace{\int_{\partial B_t}\pmb v\mathrm dt\cdot\pmb\sigma\cdot\mathrm d\pmb s}_\text{境界に働く仕事}+\underbrace{\int_{B_t}\pmb K\cdot\pmb v\mathrm dt\mathrm dv}_\text{微小領域に直接働く仕事}
ここで$ \mathrm d\pmb sは空間座標における微小面素、$ \mathrm dvは空間座標における微小体素を表す
$ = \int_{B_t}(\pmb\nabla\cdot(\pmb v\cdot\pmb\sigma)+\pmb K\cdot\pmb v)\mathrm dv\mathrm dt
$ = \int_{B_t}(\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb v+\pmb v\cdot\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma+\pmb K\cdot\pmb v)\mathrm dv\mathrm dt
$ = \int_{B_t}(\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb v+(\pmb\nabla\cdot\pmb\sigma+\pmb K)\cdot\pmb v)\mathrm dv\mathrm dt
$ = \int_{B_t}\left(\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb v+\rho\frac{\mathrm D\pmb v}{\mathrm Dt}\cdot\pmb v\right)\mathrm dv\mathrm dt
$ \therefore \int_{B_t}\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\pmb v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb v\mathrm dv=\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}=\int_{\partial B_t}\pmb\sigma:\pmb v\mathrm d\pmb s+\int_{B_t}\pmb K\cdot\pmb v\mathrm dv
あとは、$ \pmb vをうまいこと$ \pmb\varepsilonで表せればいいのだが……
$ \int_{B_p}\frac12\rho|\pmb v|^2\mathrm dv-W_p+\int_q^p\int_{B_t}\pmb\sigma:\pmb\nabla\pmb v\mathrm dv\mathrm dt=\int_{B_q}\frac12\rho|\pmb v|^2\mathrm dv-W_q
となる