tensorの座標変換の導出
定義
任意のtensor$ \pmb{T} を基底vector$ \pmb{E}_{i_0i_1\cdots i_n}(\in\mathsf{V}) の線型結合で表した時、$ \pmb{E}_{i_0i_1\cdots i_n} の係数を$ [\pmb{T}]^{\sf\bar V}_{i_0i_1\cdots i_n} と定義する
以下、任意の順序つき基底を$ \mathsf{E}_i、その元を$ \pmb{e}_{ij}で表す
表記の変更
1階
$ \pmb{a}\cdot\bar{\pmb{e}}_{ij}=\sum_k[\pmb{a}]^{\sf\bar E_i}_{k}\pmb{e}_{ik}\cdot\bar{\pmb{e}}_{ij}
$ =\sum_k[\pmb{a}]^{\sf\bar E_i}_{k}\llbracket k=j\rrbracket
$ =[\pmb{a}]^{\sf\bar E_i}_{j}
2階
$ \bar{\pmb{e}}_{ik}\cdot\pmb{T}\cdot\pmb{e}_{jl}=\sum_{m,n}\bar{\pmb{e}}_{ik}\cdot[\pmb{T}]^{\sf\bar E_iE_j}_{mn}\pmb{e}_{im}\bar{\pmb{e}}_{jn}\cdot\pmb{e}_{jl}
$ =\sum_{m,n}[\pmb{T}]^{\sf\bar E_iE_j}_{mn}\llbracket n=l\land k=m\rrbracket
$ =[\pmb{T}]^{\sf\bar E_iE_j}_{kl}
もしくは$ \pmb{T}:\bar{\pmb{e}}_{ik}\pmb{e}_{jl}=[\pmb{T}]^{\sf\bar E_iE_j}_{kl}
3階
1階
2階
3階
n階