高階tensorの成分表示の演算法則

$ \mathcal{\pmb{A}}=\sum_{i,j,k}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EFG}_{ijk}\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j\bar{\pmb{g}}_k

vectorの変換

$ \mathcal{\pmb{A}}\cdot\pmb{a}=\sum_{i,j,k,l}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{a}]^\mathsf{G}_l\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j\pmb{g}_k\cdot\bar{\pmb{g}}_l

$ =\sum_{i,j,k}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{a}]^\mathsf{G}_k\bar{\pmb{e}}_i\bar{\pmb{f}}_j

$ \therefore[\mathcal{\pmb{A}}\cdot\pmb{a}]^\mathsf{EF}=[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}[\pmb{a}]^\mathsf{G}

$ \mathcal{\pmb{A}}\cdot\pmb{T}=\sum_{i,j,k,l,m}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{T}]^\mathsf{GH}_{lm}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb f}_j\pmb{g}_k\cdot\bar{\pmb{g}}_l\pmb{h}_m

$ =\sum_{i,j,k,m}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{T}]^\mathsf{GH}_{km}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb f}_j\pmb{h}_m

$ \therefore[\mathcal{\pmb{A}}\cdot\pmb{T}]^\mathsf{EFH}=[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}[\pmb{T}]^\mathsf{GH}

真ん中の添字に掛けたい時

$ \sum_{i,j,k,l,m}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EFG}_{ijk}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}H}_{lm}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb f}_j\bar{\pmb{g}}_k\cdot\pmb{f}_l\pmb{h}_m

これなら真ん中にかけられる

$ [(\mathcal{\pmb{A}}\cdot\bar{\pmb{g}}_k)\cdot\pmb{T}]^\mathsf{EF}=[\mathcal{\pmb{A}}\cdot\bar{\pmb{g}}_k]^\mathsf{E\bar{H}}[\pmb{T}]^\mathsf{HF}

$ \mathcal{\pmb{A}}:\pmb{T}=\sum_{i,j,k,l,m}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}_{lm}\bar{\pmb e}_i\bar{\pmb f}_j\pmb{g}_k:\pmb{f}_l\bar{\pmb{g}}_m

$ =\sum_{i,j,k}[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}_{ijk}[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}_{jk}\bar{\pmb e}_i

$ \therefore[\mathcal{\pmb{A}}:\pmb{T}]^\mathsf{E}=[\mathcal{\pmb{A}}]^\mathsf{EF\bar{G}}:[\pmb{T}]^\mathsf{\bar{F}G}