normから誘導した距離函数

norm$ \lVert\bullet\rVert:V\to\Rから誘導される距離函数$ d:V^2\ni(\bm u,\bm v)\mapsto\lVert\bm u-\bm v\rVert\in\Rのこと

$ dが距離函数になることの証明

距離の公理を満たすことを示せばいい

1. 非退化性$ \forall\bm u,\bm v\in V:

$ d(\bm u,\bm v)=0

$ \iff\lVert\bm u-\bm v\rVert=0

$ \iff\bm u-\bm v=\bm 0

$ \because独立性

$ \iff\bm u=\bm v

$ \underline{\therefore\forall\bm u,\bm v\in V:d(\bm u,\bm v)=0\implies\bm u=\bm v\quad}_\blacksquare

2. 対称律$ \forall\bm u,\bm v\in V:

$ d(\bm u,\bm v)=\lVert\bm u-\bm v\rVert

$ = \lVert-(\bm v-\bm u)\rVert

$ = |-1|\lVert\bm v-\bm u\rVert

$ \because斉次性

$ = \lVert\bm v-\bm u\rVert

$ =d(\bm v,\bm u)

$ \underline{\therefore\forall\bm u,\bm v\in V:d(\bm u,\bm v)=d(\bm v,\bm u)\quad}_\blacksquare

3. 劣加法性$ \forall\bm u,\bm v,\bm w\in V:

$ d(\bm u,\bm w)=\lVert\bm u-\bm w\rVert

$ =\lVert(\bm u-\bm v)+(\bm v-\bm w)\rVert

$ \le\lVert\bm u-\bm v\rVert+\lVert\bm v-\bm w\rVert

$ =d(\bm u,\bm v)+d(\bm v,\bm w)

$ \underline{\therefore\forall\bm u,\bm v,\bm w\in V:d(\bm u,\bm w)\le d(\bm u,\bm v)+d(\bm v,\bm w)\quad}_\blacksquare