MaA-2025F-11.@2025-06-30T13:00D90
$ \ddot x+2h\omega_0\dot x+\omega_0^2x=0
$ \iff\ddot{x}+2(\Im\hat{\omega})\dot{x}+|\hat{\omega}|^2x=0
$ \iff x=Ae^{-i\hat{\omega_0}t}+B^{i\hat{\omega_0}^*t}
$ x_i(t+\varDelta t)=A_{ij}x_j(t)+B_{ij}u_j(k)
$ y_i=C_{ij}x_j
状態方程式とほぼ同じでいい？takker.icon $ \begin{pmatrix}u_n\\u_{n-1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-a_1&-a_2\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{n-1}\\u_{n-2}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}e_n\\0\end{pmatrix}
$ u_n=\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_n\\0\end{pmatrix}
$ \bm A=\begin{pmatrix}-a_1&-a_2\\1&0\end{pmatrix}として固有値分解する $ \bm A=\sum_j\lambda_j\bm\phi_j\bm\phi^j
あとは$ \lambda_jを複素固有角振動数の定義に代入して$ \omega,hを求めればいい $ \hat{\omega}_j=\omega_j\sqrt{1-{h_j}^2}+i\omega_jh_j
$ \implies\lambda_j=e^{i\hat{\omega}_j\Delta t}=e^{-\omega_jh_j\Delta t}e^{i\omega\sqrt{1-{h_j}^2}\Delta t}
$ \implies\begin{dcases}\ln|\lambda_j|=-\omega h\Delta t\\\arg\lambda_j=\omega\sqrt{1-{h_j}^2}\Delta t\end{dcases}
$ \implies\begin{dcases}(\ln|\lambda_j|)^2+(\arg\lambda_j)^2=(\omega\Delta t)^2\\h=-\frac{\ln|\lambda_j|}{\omega\Delta t}\end{dcases}
$ \underline{\iff \begin{dcases}\omega=|\omega|=\frac{\sqrt{(\ln|\lambda_j|)^2+(\arg\lambda_j)^2}}{\Delta t}\\h=-\frac{\ln|\lambda_j|}{\sqrt{(\ln|\lambda_j|)^2+(\arg\lambda_j)^2}}\end{dcases}\quad}_\blacksquare