MaA-2025F-10.@2025-06-23T13:00D90
$ x_i(t+\varDelta t)=A_{ij}x_j(t)+B_{ij}u_j(t)+C_{i}
$ x(t)：時刻$ tにおける$ n\times 1の状態vector
$ u(t)：時刻$ tにおける$ m\times 1の外力vector $ A：$ n\times n
$ B：$ n\times m
$ C：$ n
問10
$ \ddot{\bm x}=-\bm\Omega\cdot\bm xを解く
$ \ddot y=-\omega^2y\iff\exist A,B\in\Complex:y=Ae^{i\omega t}+Be^{-i\omega t}より、
$ \ddot{\bm x}=-\bm\Omega\cdot\bm x
$ \iff\exist\bm\alpha,\bm\beta\in\Complex^n:\bm x=\bm\alpha\cdot e^{i\sqrt{\bm\Omega}t}+\bm\beta\cdot e^{-i\sqrt{\bm\Omega}t}
ここで、$ \bm\Omegaの固有値を$ {\lambda^{\bm\Omega}}_j、正規化した固有ベクトルを$ \bm p_jとすると、
$ e^{i\sqrt{\bm\Omega}t}=\sum_{n\ge0}\frac{i^n}{n!}\sum_j\sqrt{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^nt^n\bm p_j\bm p^j
$ =\sum_je^{i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}\bm p_j\bm p^j
$ \therefore\exist\bm\alpha,\bm\beta\in\Complex^n:\bm x=\bm\alpha\cdot \sum_je^{i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}\bm p_j\bm p^j+\bm\beta\cdot\sum_je^{-i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}\bm p_j\bm p^j
$ = \sum_j\bm\alpha\cdot\bm p_j\bm p^je^{i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}+\bm\beta\cdot\bm p_j\bm p^je^{-i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}
$ \bm\alpha\cdot\bm p_j\bm p^j,\bm\beta\cdot\bm p_j\bm p^jも$ \bm\Omega固有ベクトルになる
$ \alpha_l:=\bm\alpha\cdot\bm p_l,\beta_l:=\bm\beta\cdot\bm p_lとする
$ = \sum_j\bm p^j\alpha_je^{i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}+\bm p^j\beta_je^{-i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}
$ = \sum_j\bm p^j\left(\alpha_je^{i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}+\beta_je^{-i{{\lambda^{\bm\Omega}}_j}^{\frac12}t}\right)
テキストの$ \phi_{ij}は、$ \phi_{ij}=\bm p^j\cdot\bm e_iとなる
つまり$ \phi_{ij}=[\bm I]^{\sf E\bar P}_{ij} かtakker.icon
今回は
$ \omega:=\sqrt{\frac km}=1、図の座標系における$ \bm\Omegaの成分を$ \omega^2\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}とする
$ \frac12\mathrm{tr}\bm\Omega=\frac32\omega^2
$ \frac12q=\omega^2\sqrt{\left(2-\frac32\right)^2+1}=\frac12\sqrt5\omega^2
$ \lambda_1=\frac32\omega^2+q=\frac12(3+\sqrt5)\omega^2=(1+\varphi)\omega^2=\varphi^2\omega^2
$ \lambda_2=\frac12(3-\sqrt5)\omega^2=(2-\varphi)\omega^2=(3-\varphi^2)\omega^2
固有ベクトルは
$ \bm p_1\propto\bm e_x+\frac12(1-\sqrt5)\bm e_y=\bm e_x+(1-\varphi)\bm e_y=\bm e_x-\frac1\varphi\bm e_y
$ \varphi=1+\frac1\varphi
$ \bm p_2\propto\bm e_x+\frac12(1+\sqrt5)\bm e_y=\bm e_x+\varphi\bm e_y
正規化して
$ \bm p_1=\frac1{\sqrt{1+\varphi^2}}\bm e_x+\frac\varphi{\sqrt{1+\varphi^2}}\bm e_y
$ 1+\varphi^2=2+\varphi
$ 2+\varphi=\sqrt5\varphi=(2\varphi-1)\varphi
$ \bm p_1=\frac\varphi{\sqrt{1+\varphi^2}}\bm e_x-\frac1{\sqrt{1+\varphi^2}}\bm e_y
$ \sqrt{1+\frac1{\varphi^2}}=\frac{\sqrt{1+\varphi^2}}{\varphi}
$ |\bm p_1|=|\bm p_2|=1\land\bm p_1\bot\bm p_2だから、$ \sf \bar P=Pと正規直交基底になる
以上より、
$ x_1=\bm x\cdot\bm e_1=\phi_{11}\left(\alpha_1e^{\sqrt{\frac12(3+\sqrt5)}it}+\beta_1e^{-\sqrt{\frac12(3+\sqrt5)}it}\right)+\phi_{12}\left(\alpha_2e^{\sqrt{\frac12(3-\sqrt5)}it}+\beta_2e^{-\sqrt{\frac12(3-\sqrt5)}it}\right)
$ x_2=\bm x\cdot\bm e_2=\phi_{21}\left(\alpha_1e^{\sqrt{\frac12(3+\sqrt5)}it}+\beta_1e^{-\sqrt{\frac12(3+\sqrt5)}it}\right)+\phi_{22}\left(\alpha_2e^{\sqrt{\frac12(3-\sqrt5)}it}+\beta_2e^{-\sqrt{\frac12(3-\sqrt5)}it}\right)