2次元2階tensorの固有方程式の解
$ \lambda^2-({\rm tr}\bm A)\lambda+\det\bm A=0
$ \iff \lambda=\frac12({\rm tr}\bm A\pm\sqrt{({\rm tr}\bm A)^2-4\det\bm A})
$ \iff \lambda=A_m\pm\sqrt{A_m^2-\det\bm A}
$ A_m:=\frac12{\rm tr}\bm A($ \bm Aの等方成分)とした わかること
固有値の平均値は$ A_m
$ A_mを中心に、$ \sqrt{A_m^2-\det\bm A}だけ離れている
$ \det\bm A\ge0\lor A_m\ge\sqrt{\det\bm A}のとき固有値が実数になる
2次元2階tensorで$ \det\bm A=\frac12(({\rm tr}\bm A)^2-{\rm tr}\bm A^2)になることを使うと、 $ \sqrt{A_m^2-\det\bm A}=\sqrt{A_m^2-\frac12(({\rm tr}\bm A)^2-{\rm tr}\bm A^2)}
$ =\sqrt{A_m^2-2A_m^2+\frac12{\rm tr}\bm A^2}
$ =\sqrt{\frac12{\rm tr}\bm A^2-A_m^2}ー(1)
$ \frac12{\rm tr}\bm A^2は$ \bm A^2の等方成分なので、$ (A^2)_m:=\frac12{\rm tr}\bm A^2とすると、$ (A^2)_m\ge(A_m)^2のとき固有値が実数になるといえる
2025-06-24一般に
$ \lambda=\frac12I_1^{\bm A}\pm\sqrt{-J_2^{\bm A}}
$ = \frac12I_1^{\bm A}\pm\sqrt{\sqrt{-J_2^{{\cal\pmb S}:\bm A}}^2-\sqrt{J_2^{{\cal\pmb W}:\bm A}}^2}
$ \sqrt{-J_2^{{\cal\pmb S}:\bm A}}がMohr円の半径、$ \sqrt{J_2^{{\cal\pmb W}:\bm A}}が$ \sigma軸からの離れ具合を示す
$ \sqrt{-J_2^{{\cal\pmb S}:\bm A}}=\sqrt{J_2^{{\cal\pmb W}:\bm A}}で重解、非正則になる
$ \sqrt{-J_2^{{\cal\pmb S}:\bm A}}<\sqrt{J_2^{{\cal\pmb W}:\bm A}}で固有値が複素数になる
$ \bm A={\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A+A_m\bm I+{\cal\pmb W}:\bm A
うーん、成分分解しないとこれ以上は計算できないか
予想だと$ =\sqrt{-\det{\cal\pmb W}:\bm A-\det {\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A}になるはず
どちらもtraceが0になるので、
$ \det {\cal\pmb W}:\bm A=-\frac12({\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb W}:\bm A)^\top=\frac12({\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb W}:\bm A)
$ \det{\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A=-\frac12({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A)^\top=-\frac12({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A)
$ \frac12{\rm tr}\bm A^2=\frac12\bm A:\bm A^\top
$ =\frac12({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A+A_m\bm I+{\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A+A_m\bm I-{\cal\pmb W}:\bm A)
$ = \frac12({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A)+A_m^2-\frac12({\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb W}:\bm A)
$ \because({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A):\bm I=0\land\bm I:({\cal\pmb W}:\bm A)=0\land({\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A)=0
$ \therefore\frac12{\rm tr}\bm A^2-A_m^2=\frac12({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A):({\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A)-\frac12({\cal\pmb W}:\bm A):({\cal\pmb W}:\bm A)
$ = -\det{\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm A-\det {\cal\pmb W}:\bm A
よかった。証明できた
偏差第3不変量$ S_3=\det{\cal\pmb D}:{\cal\pmb S}:\bm Aを使うと、$ \sqrt{-S_3}がMohr円の半径に相当するから、やはり固有値と等方成分との距離の2乗はMohr円の半径$ \sqrt{-S_3}の2乗と非対称tensorのmohr円の高さ$ \sqrt{|\det {\cal\pmb W}:\bm A|}の差になるとわかる (注：固有値が実数のとき)
解と係数の関係を使う
$ \lambda_0+\lambda_1={\rm tr}\bm A
$ \lambda_0\lambda_1=\det\bm A=\frac12(({\rm tr}\bm A)^2-{\rm tr}\bm A^2)
$ \implies (\lambda_0-\lambda_1)^2=({\rm tr}\bm A)^2-4\det\bm A={\rm tr}\bm A^2
なるほど。つまり判別式が$ (\lambda_0-\lambda_1)^2になるわけだ
固有値が実数なら当然判別式は非負になる