Kuratowskiの閉包公理系→閉集合系の公理

Kuratowskiの閉包公理系$ \land\mathcal C=\{C\in2^X\mid\overline{C}=C\}から閉集合系の公理$ \land\overline\bullet:2^X\ni A\mapsto\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\in\mathcal Cを導く

∅∈𝒞

∅̅=∅

$ \underline{\implies\varnothing\in\mathcal C\quad}_\blacksquare

$ \because閉集合の構成

∀C1,C2∈𝒞:C1∪C2∈𝒞

$ \forall C_1,C_2:

$ C_1,C_2\in\mathcal C

$ \iff\begin{dcases}\overline{C_1}=C_1\\\overline{C_2}=C_2\end{dcases}

$ \because閉集合の構成

$ \implies\overline{C_1\cup C_2}=\overline{C_1}\cup\overline{C_2}

$ \because∀A,B∈2^X(A̅∪̅B̅=A̅∪B̅)

$ =C_1\cup C_2

$ \iff C_1\cup C_2\in\mathcal C

$ \because閉集合の構成

$ \underline{\implies\forall C_1,C_2\in\mathcal C:C_1\cup C_2\in\mathcal C\quad}_\blacksquare

∀C'⊆𝒞:⋂C'∈𝒞

$ \forall\mathcal C':

$ \mathcal C'\subseteq\mathcal C

$ \iff\forall C\in\mathcal C':\overline{C}=C\in2^X

$ \because閉集合の構成

$ \bigcap\mathcal C'\in\mathcal C

$ \iff\exist A\in\mathcal C\forall x:(x\in A\iff\forall C\in\mathcal C':x\in C)

$ \iff\exist A\in2^X:\overline{A}=A\land\forall x:(x\in A\iff\forall C\in\mathcal C':x\in C)

$ \bigcap\mathcal C'\subseteq B\iff\forall x:(\forall C\in\mathcal C':x\in C)\implies x\in B

$ x\in\bigcap\mathcal C'

$ \iff\forall C\in\mathcal C':x\in C

2026-03-11 19:50:33 わからんtakker.icon

∀A∈2^X(A⊆A̅)は成り立つから、$ \overline{\bigcap\mathcal C'}\subseteq\bigcap\mathcal C'が成立すればいい

$ \mathcal C'=\{C_1,C_2\}のときはどうなる？

$ C_1\cap C_2\subseteq C_1\implies\overline{C_1\cap C_2}\subseteq\overline{C_1}

$ C_1\cap C_2\subseteq C_2\implies\overline{C_1\cap C_2}\subseteq\overline{C_2}

$ \therefore\overline{C_1\cap C_2}\subseteq\overline{C_1}\cap\overline{C_2}=C_1\cap C_2

なるほど、一個ずつばらせばいいのか

$ \forall\mathcal C':

$ \mathcal C'\subseteq\mathcal C

$ \implies\forall C\in\mathcal C'\forall x:

$ x\in\bigcap\mathcal C'

$ \iff\forall C'\in\mathcal C':x\in C'

$ \implies x\in C

$ \implies\forall C\in\mathcal C':\bigcap\mathcal C'\subseteq C

$ \implies\forall C\in\mathcal C':\overline{\bigcap\mathcal C'}\subseteq\overline{C}

$ \because∀A,B∈2^X(A⊆B⇒A̅⊆B̅)

$ \iff\overline{\bigcap\mathcal C'}\subseteq\bigcap\{C'\in2^X|\exist C\in\mathcal C':C'=\overline{C}\}

$ =\bigcap\{C'\in2^X|\exist C\in\mathcal C':C'=C\}

$ \because閉集合の構成

$ =\bigcap\mathcal C'

$ \implies\bigcap\mathcal C'\in\mathcal C

$ \because∀A∈2^X(A⊆A̅)

$ \underline{\implies\forall\mathcal C'\subseteq\mathcal C:\bigcap\mathcal C'\in\mathcal C\quad}_\blacksquare

閉包作用素の構成

$ \forall A\in2^X\forall x:

$ x\in\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}

$ \iff\forall C\in\mathcal C_{\supseteq A}:x\in C

$ \implies x\in\overline{A}

$ \because C=\overline{A}を代入

∀A∈2^X(A⊆A̅),∀A∈2^X(A̿=A̅)より条件を満たす

$ \implies\forall C:

$ C\in\mathcal C\land A\subseteq C

$ \iff A\subseteq C=\overline{C}

$ \because閉集合の構成

$ \implies\overline{A}\subseteq\overline{C}=C

$ \because∀A,B∈2^X(A⊆B⇒A̅⊆B̅)

$ \implies x\in\overline{A}=C

$ \implies\forall C\in\mathcal C_{\supseteq A}:x\in C

$ \iff x\in\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}

$ \underline{\implies\forall A\in2^X:\overline{A}=\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}\quad}_\blacksquare

使用している論理式から、$ \overline{\bullet}が擬閉包だったとしても$ \mathcal C=\{C\in2^X\mid\overline{C}=C\}は$ Xの閉集合の集まりとなる。

$ Xの閉集合全てを網羅している保証はない

しかし、$ \overline{\bullet}の構成が$ \forall A\in2^X:\overline{A}\subseteq\bigcap\{C\in\mathcal C\mid A\subseteq C\}になってしまう

#2026-03-11 20:17:41