Fréchet微分
任意の$ \mathbf K-Banach空間$ \mathbf B_1,\mathbf B_2と$ \mathbf B_1の通常の位相$ \mathcal O_1と$ \forall U\in\mathcal O_1\forall f:U\to B_2\forall x\in Uにて、$ fが以下を満たすとき、$ fは$ xでFréchet微分可能(フレシェ微分可能)という ある有界線型作用素$ A_x:B_1\to B_2が存在し、$ \frac{\lVert f(x+\Delta x)-f(x)-A_x(\Delta x)\rVert_{\mathbf B_2}}{\lVert\Delta x\rVert_{\mathrm B_1}}\to0\quad(\Delta x\to 0) $ Df:U\ni x\mapsto(\Delta x\mapsto A_x(\Delta x))\in(B_1\to B_2)
通常の実函数$ f:U\to\Rでは、$ Df:x\mapsto(\Delta x\mapsto f'(x)\Delta x)となる
$ \mathrm df:x\mapsto(\Delta x\mapsto f'(x)\Delta x)とすれば、$ Df=\mathrm dfとなる
$ \mathrm df(x)(\Delta x)=f'(x)\mathrm d x(\Delta x)