微分 - くたくたじゅうよん

微分

厳密な定義

1次元の場合

元の函数$ fの引数$ xと、新たに導入した変数$ \Delta xとを受け取る高階函数とする

$ \mathrm df:x\mapsto(\Delta x\mapsto f'(x)\Delta x)

$ (\mathrm df)(x)(\Delta x)=f'(x)\Delta xが成立する

この$ \Delta xを無限小$ \mathrm dxに見立てる

略記$ \mathrm df(x):=\mathrm d(f(x)):=\mathrm d(x\mapsto f(x))を導入しておく

よく使われる$ \mathrm d(2x+x^2)=(2+2x)\mathrm dxや$ (2x+x^2)'=2+2xに相当する表記

また、$ x\mapsto f(x)を$ f(x)と略記していいことにする

$ (\mathrm dx)(x)(\Delta x)=(x)'\Delta x=\Delta xが成立する

$ \mathrm dx(x):\Delta x\to\Delta x

よって、函数の演算を用いて$ \mathrm df(x)=f'(x)\mathrm dx(x)となる

$ (x)も外すと$ \mathrm df=f'\mathrm dxとなる

$ xが$ x+\Delta xに変化したときの$ fの変化量は微分$ \mathrm dfと一致するとは限らない

$ f(x+\Delta x)-f(x)\neq(\mathrm df)(x,\Delta x)=f'(x)\Delta x

しかし、$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\to f'(x)\quad(\Delta x\to0)は成立する

$ f'(x)=\frac{(\mathrm df)(x)(\Delta x)}{\Delta x}=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x)(\Delta x)\quad\text{.for }\forall \Delta xだから、$ \Delta x \to 0のとき$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\approx\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x)(\Delta x)とも言える

特徴

$ \Delta x\mapsto\mathrm df(x)(\Delta x)は線型写像となる

これが微分の線型性を表している

多変数函数

以上を拡張し、引数の数だけ、無限小を表すダミー変数を追加する

$ (x_0,x_1,\cdots,x_n)\mapsto f(x_0,x_1,\cdots,x_n)の微分を

$ \mathrm df:(x_0,x_1,\cdots,x_n)\mapsto\left((\Delta x_0,\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n)\mapsto\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i\right)

と定義する

1変数函数のときと同様、ダミー変数$ \Delta x_iそれぞれに対し線型性が成り立つ

どちらの定義も、全微分と完全に一致する

これらの定義はFréchet微分と一致する

微分と接平面との関係