微分
厳密な定義
1次元の場合
元の函数$ fの引数$ xと、新たに導入した変数$ \Delta xの2変数函数として定義する $ \mathrm df:(x,\Delta x)\mapsto f'(x)\Delta x
$ (\mathrm df)(x,\Delta x)=f'(x)\Delta xが成立する
この$ \Delta xを無限小$ \mathrm dxに見立てる 略記$ \mathrm df(x):=\mathrm d(f(x)):=\mathrm d(x\mapsto f(x))を導入しておく
よく使われる$ \mathrm d(2x+x^2)=(2+2x)\mathrm dや$ (2x+x^2)'=2+2xに相当する表記
また、$ x\mapsto f(x)を$ f(x)と略記していいことにする
$ (\mathrm dx)(x,\Delta x)=(x)'\Delta x=\Delta xが成立
これより、函数の演算を用いて$ \mathrm df=f'(x)\mathrm dxを厳密に成立させられる $ xが$ x+\Delta xに変化したときの$ fの変化量は微分$ \mathrm dfと一致するとは限らない
$ f(x+\Delta x)-f(x)\neq(\mathrm df)(x,\Delta x)=f'(x)\Delta x
しかし、$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\to f'(x)\quad(\Delta x\to0)は成立する
$ f'(x)=\frac{(\mathrm df)(x,\Delta x)}{\Delta x}=\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x,\Delta x)\quad\text{.for }\forall \Delta xだから、$ \Delta x \to 0のとき$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\approx\frac{\mathrm df}{\mathrm dx}(x,\Delta x)とも言える
特徴
$ (x,\Delta x)\mapsto(\mathrm df)(x,\Delta x)は$ \Delta xについて線型写像となる 以上を拡張し、引数の数だけ、無限小を表すダミー変数を追加する $ (x_0,x_1,\cdots,x_n)\mapsto f(x_0,x_1,\cdots,x_n)の微分を
$ \mathrm df:(x_0,x_1,\cdots,x_n,\Delta x_0,\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n)\mapsto\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}\Delta x_i
と定義する
1変数函数のときと同様、ダミー変数$ \Delta x_iそれぞれに対し線型性が成り立つ References