部分位相 - くたくたじゅうよん

部分位相

任意の位相空間$ (X,\mathcal O)に対して$ \forall A\in2^X.\mathcal O_A:=\{O_A\in2^X\mid\exist O\in\mathcal O:O_A=A\cap O\}とすると、$ \mathcal O_Aは$ A上の位相となる

これを、$ Aの$ \mathcal Oに関する部分位相と呼ぶ

また、$ (A,\mathcal O_A)を$ (X,\mathcal O)の部分位相空間(topological subspace, 部分位相, subspace, 部分空間)と呼ぶhttps://mathlandscape.com/relative-topology/

$ \mathcal O_Aが$ A上の位相になることを証明する

$ (A,\mathcal O_A)開集合系の公理を満たせばいい

(O1)$ A\in\mathcal O_A

$ \mathcal O_A\ni A\cap X

$ \because X\in\mathcal O

$ \underline{=A\quad}_\blacksquare

(O2)$ \forall U_1,U_2\in\mathcal O_A:U_1\cap U_2\in\mathcal O_A

$ \forall U_1, U_2\in2^X:

$ U_1,U_2\in\mathcal O_A

$ \iff\exist V_1,V_2\in\mathcal O:U_1=A\cap V_1\land U_2=A\cap V_2

$ \implies\exist V_1,V_2\in\mathcal O:U_1\cap U_2=A\cap V_1\cap V_2

$ \implies\exist O\in\mathcal O:U_1\cap U_2=A\cap O

$ \because\forall O_1,O_2\in\mathcal O:O_1\cap O_2\in\mathcal O

$ \iff U_1\cap U_2\in\mathcal O_A

$ \underline{\therefore\forall U_1,U_2\in\mathcal O_A:U_1\cap U_2\in\mathcal O_A\quad}_\blacksquare

(O3)$ \forall\mathcal O_A'\subseteq\mathcal O_A:\bigcup\mathcal O_A'\in\mathcal O_A

$ \forall\mathcal O_A'\in 2^{2^X}:

$ \mathcal O_A'\subseteq\mathcal O_A

$ \iff\forall O_A\in\mathcal O_A':O_A\in\mathcal O_A

$ \iff\forall O_A\in\mathcal O_A'\exist O\in\mathcal O:O_A=A\cap O\subseteq A

$ \implies\forall O_A\in\mathcal O_A':O_A\subseteq A

$ \implies\forall O_A\in\mathcal O_A':O_A\subseteq A\in\mathcal O_A

$ \because(O1)

$ \implies\exist A\in\mathcal O_A\forall O_A\in\mathcal O_A':O_A\subseteq A

$ \iff\bigcup\mathcal O_A'\subseteq A\in\mathcal O_A

これだとうまくいかないか……

$ \bigcup\mathcal O_A'\in\mathcal O_A

$ \iff\exist O\in\mathcal O_A\forall x:(x\in O\iff\exist O_A\in\mathcal O_A':x\in O_A)

$ \iff\exist O\in\mathcal O\forall x:(x\in A\cap O\iff\exist O_A\in\mathcal O_A':x\in O_A)

$ \bigcupの演算法則から攻めよう

おそらく$ A\cap\bigcup\mathcal O=\bigcup\mathcal O_Aなはず

$ x\in\bigcup\mathcal O_A

$ \iff\exist O\in\{O\in2^X\mid\exist U\in\mathcal O:O=A\cap U\}:x\in O

$ \iff\exist O\in2^X:((\exist U\in\mathcal O:O=A\cap U)\land x\in O)

$ \iff\exist O\in2^X\exist U\in\mathcal O:(O=A\cap U\ni x)

$ \iff\exist U\in\mathcal O:x\in A\cap U

$ \iff x\in A\land\exist U\in\mathcal O:x\in U

$ \iff x\in A\land x\in\bigcup\mathcal O

$ \iff x\in A\cap\bigcup\mathcal O

証明できた

あとはこれを使えばいい

$ \underline{\therefore\forall\mathcal O_A'\subseteq\mathcal O_A:\bigcup\mathcal O_A'\in\mathcal O_A\quad}_\blacksquare

うまく証明できないtakker.icon

さすがにそろそろ証明を調べるか

$ \bigcup\mathcal O_A'\subseteq\bigcup\mathcal O_A=A\cap\bigcup\mathcal O\in\mathcal O_Aというのが成り立てばなんとかなる

なら行けそうだtakker.icon

A⊆B⇒⋃A⊆⋃Bは成り立つ

$ \exist O_A:\bigcup\mathcal O_A'\subseteq O_A\in\mathcal O_Aは示せるが、$ \bigcup\mathcal O_A'\in\mathcal O_Aは示せない

部分位相#6799c72d1280f0000014c563の方針で、かつ厳密にやってみる

$ \mathcal O_A'\subseteq\mathcal O_A\implies\mathcal O_A'=\{O_A\in\mathcal O_A'\mid\exist O\in\mathcal O:O_A=A\cap O \}でいけるかもtakker.icon

この方法は今まで思いつかなかった

$ \forall\mathcal O_A'\in 2^{2^X}:

$ \mathcal O_A'\subseteq\mathcal O_A

$ \implies\mathcal O_A'=\{O_A\in\mathcal O_A'\mid\exist O\in\mathcal O:O_A=A\cap O \}

$ \implies\bigcup\mathcal O_A'=\{x\in 2^X\mid\exist O_A\in\mathcal O_A'\exist O\in\mathcal O:x\in O_A=A\cap O\}

$ =\{x\in 2^X\mid\exist O\in\mathcal O:x\in A\cap O\in\mathcal O_A'\}

$ =\{x\in A\mid\exist O\in\mathcal O:x\in O\land A\cap O\in\mathcal O_A'\}

$ =\{x\in A\mid\exist O\in\{O\in\mathcal O\mid A\cap O\in\mathcal O_A'\}:x\in O\}

$ =\{x\in A\mid x\in\bigcup\{O\in\mathcal O\mid A\cap O\in\mathcal O_A'\}\}

$ =A\cap\bigcup\{O\in\mathcal O\mid A\cap O\in\mathcal O_A'\}

$ \implies\exist O\in\mathcal O:\bigcup\mathcal O_A'=A\cap O

$ \because\{O\in\mathcal O\mid A\cap O\in\mathcal O_A'\}\subseteq\mathcal Oと$ \forall\mathcal O'\subseteq\mathcal O.\bigcup\mathcal O'\in\mathcal O

$ \underline{\iff\bigcup\mathcal O_A'\in\mathcal O_A\quad}_\blacksquare

部分位相の別名https://ja.wikipedia.org/wiki/相対位相

相対位相(relative topology)

trace位相 (trace topology)

部分空間位相 (subspace topology)

References

https://old.math.jp/wiki/位相空間論6：相対位相#命題_6.1_(集合族_$\mathcal{O}_A$_は開集合系の公理を満たす)

証明が載っている

$ O_A\in\mathcal O_A'に対応する$ O\in\mathcal Oを選べるとしてしまっているが、この選択操作をしていい理由が書かれていない

選択公理が絡んでいそうだな～takker.icon

#2025-01-29 14:39:44

#2025-01-23 21:54:37