自己言及的な文の一覧
#一覧 #自己言及 #パラドックス
あくまでも自然言語的に端的に言える文を対象とする．
その他の場合，例えばRusselのパラドックスなどは当該記事を参照．
この文はウソだ！
嘘つき文
嘘つきのパラドックス
状況整理
この世界の文は，本当かウソのどちらかであり，どちらでもある/どちらでもないといった状況は認めないとする．
「この文」とするとややこしいので，$ Sとする．
$ Sが実際に本当だったとする．
$ Sは「$ Sはウソだ！」と意味していることになるので，$ Sはウソである．
ところが，本当でありかつウソでもあるといった状況は認められないので，破綻する．
$ Sは実際にはウソだったとする．
すると「$ Sはウソだ！」はウソで，$ Sは「$ Sは本当だ！」と意味していることになるので，$ Sは本当である．
ところが，やはりこの状況は認められないので，破綻する．
よって，$ Sはどちらとも出来ないのである．
この文は本当だ！
ホントつき文
矢田部俊介による．ホントつきのパラドックスなどを参照．
状況整理
嘘つき文の状況を引き継ぐ．
「この文」は$ S'とする．
$ S'が実際に本当だったとする．
$ S'は「$ S'は本当だ！」と意味していることになるので，$ S'は本当である．
実際と意味内容が一致しているので，別に破綻しない．
$ S'が実際にはウソだったとする．
すると「$ S'は本当だ！」はウソで，$ S'は「$ S'はウソだ！」と意味していることになるので，$ S'はウソである．
実際と意味内容が一致しているので，こちらでも破綻しない．
よって，$ S'はどちらとも出来るのである．
この文は証明できない！
Gödel文$ G
Kurt Gödelによる．
非可証性(Unprovablility)に基づいた文．
Gödelの不動点補題などを用いて構成可能．
実際にはこういう形式をしている
$ T \vdash G \leftrightarrow \lnot\mathrm{Pr}_T(\ulcorner G \urcorner)
自分自身の非可証性が証明可能である．
Gödelの不完全性定理より，ある程度の条件を満たしたω無矛盾な体系には必ず存在し，
$ T \nvdash Gであり，$ T \nvdash \lnot Gでもある．
Rosser文$ R
大雑把には
$ Rは$ \mathcal{P}_Rという証明をもって証明可能で，かつ，$ \mathcal{P}_RよりGödel数の小さいいかなる証明によっても$ \lnot Rが証明されない．
というRosser証明可能性述語に基づく文
Gödel-Rosserの第1不完全性定理より，ある程度の条件を満たした無矛盾な体系には必ず存在し，
$ T \nvdash Rであり，$ T \nvdash \lnot Rでもある．
ただし，この可証性述語ではGödelの第2不完全性定理は成り立たなくなる．
Kreiselの注意を参照．
この文は証明できる！
Henkin文$ H
Leon Henkinによる．
実際にはこういう形式をしている
$ T \vdash H \leftrightarrow \mathrm{Pr}_T(\ulcorner H \urcorner)
自分自身の可証性が証明可能である．
Martin H. Löbがこの文を研究した結果，Löbの定理が発見された．
M. H. Löb, "Solution of a problem of Leon Henkin"参照．
この文は反証できる！
Jeroslow文$ J
R. G. Jeroslowによる．
新井敏康『数学基礎論』増補版のp137に用例あり．
反証性(Refutability)に基づく文．
$ T \vdash J \leftrightarrow \mathrm{Pr}_T(\ulcorner \lnot J \urcorner)
非可証性と反証性が明確に区別されるような（あるいは反証性が一級市民であるような）体系で検証される．
証明可能性論理の亜種？
非可証性と反証性について
参照?
R. G. Jeroslow; "Redundancies in the Hilbert–Bernays Derivability Conditions for Gödel's Second Incompleteness Theorem"
Lev D. Beklemishev, D. Shamkanov, "Some abstract versions of Gödel's second incompleteness theorem based on non-classical logics"
この文が正しいと仮定すると…
Kreisel文
この文は13文字以下だ！
Berryのパラドックス
題は間違っている．この文は13文字以下だ！は12文字である．
「あるオブジェクトを記述するのに最低でも何文字必要なのか？」といった情報量を測る指標の一つにKolmogorov複雑度がある．
Kolmogorov複雑度に基づいて形式化を行うと
正しいのに証明できない文がある，という意味で不完全となるような文を取ることが出来る．
大雑把には，
$ L文字以下では記述出来ない文は確実に存在する，
しかし，その事実は絶対に確かめることは出来ないような，限界の$ Lが存在することが明らかになる．
Chaitinの不完全性定理を参照．
#TODO
Jeroslow文的な状況でこの文は反証できない！文はどうなるのだろうか？
無いので，これを否定Jeroslow文と命名する．
$ T \vdash N \leftrightarrow \lnot \mathrm{Pr}_T(\ulcorner \lnot N \urcorner)
Parikh文
Noson S. Yanofsky, "A Universal Approach to Self-Referential Paradoxes, Incompleteness and Fixed Points"に書かれているが，実際何を言っている文なのかよく調べていない