極値分布

$ \frac{Z_n-b_n}{a_n} \xrightarrow{d} Z

このとき，

$ P(\frac{Z_n-b_n}{a_n} \leq x) \to P(Z \leq x) = G(x)

を考える．

$ P(\frac{Z_n-b_n}{a_n} \leq x) = P(Z_n \leq a_nx+b_n) := F^n(a_nx+b_n)

より，

$ F^n(a_nx+b_n) \to G(x)

である．

$ P(Z_n \leq y) = F^n(y) \sim G(x) = G(\frac{y-b_n}{a_n})

$ \forall n \in \mathbb{N}, \exists a_n, b_n

$ G^n(a_nx+b_n) = G(x), \forall x \in \mathbb{R}