グロタンディーク宇宙

グロタンディーク宇宙(Grothendieck universe)

ラッセルのパラドックスの矛盾解決のために導入された？

集合が階層的になっている

宇宙の要素は小さい集合(small set)と呼ばれる

集合論、圏論内で使われるものはグロタンディーク宇宙と呼んでいそう

定義

(1)～(5)の条件を満たす集合$ \mathfrak{U} をグロタンディーク宇宙、または略して宇宙と呼ぶ。

(1)$ x \in \mathfrak{U}, y \in x \implies y \in \mathfrak{U}

(2)$ \emptyset \in \mathfrak{U}

(3)$ x, y \in \mathfrak{U} \implies \{ x, y \} \in \mathfrak{U}

(4)$ I \in \mathfrak{U}, x_i \in \mathfrak{U}(i \in I) \implies \bigcup_{i \in I} x_i \in \mathfrak{U}

(5)$ x \in \mathfrak{U} \implies \mathscr{P}x \in \mathfrak{U}

(1)$ x \in \mathfrak{U},\ y \in x \implies y \in \mathfrak{U}

推移の条件

読み方: $ x がグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に属しているかつ、$ y は$ x に属しているならば、$ y は$ \mathfrak{U} に属している。

x, yが推移的な条件を満たしていると、推移先のyはグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に含まれる

$ \mathfrak{U} は推移的集合

(2)$ \emptyset \in \mathfrak{U}

空集合

読み方: 空集合$ \emptyset はグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に属している。

(3)$ x, y \in \mathfrak{U} \implies \{ x, y \} \in \mathfrak{U}

読み方: $ x, y がグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に属しているならば、$ x, y の対は$ \mathfrak{U} に属している。

(4)$ I \in \mathfrak{U},\ x_i \in \mathfrak{U}(i \in I) \implies \bigcup_{i \in I} x_i \in \mathfrak{U}

読み方: $ I がグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に属していてかつ、各$ x_i が$ \mathfrak{U} に属しているならば、$ x_i の和集合を取ったものは$ \mathfrak{U} に含まれる。

(5)$ x \in \mathfrak{U} \implies \mathscr{P}x \in \mathfrak{U}

読み方: $ x がグロタンディーク宇宙$ \mathfrak{U} に属しているならば、冪集合$ \mathscr{P}x (ぴーえっくす)は$ \mathfrak{U} に含まれる。

冪集合は空集合を含む$ x の部分集合全体

『グラフ表現で可視化する圏論』、キマイラ飼育記の両方で言及されていたので、もっと詳しい話は下記([Levi2018])か『グラフ表現で可視化する圏論』を見る。

Title: Formulating Categorical Concepts using Classes

Author: Paul Blain Levy

Pages: 11p

Year: 2018

確認用

Q. グロタンディーク宇宙

参考

檜山正幸. グロタンディーク宇宙って何なんだ？, 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog). 2018-04-05.