ラッセルのパラドックス
ラッセルのパラドックス(Russell's paradox)
素朴集合論で自分自身を含む集合が定義できると、きちんと証明できたと言えない矛盾したものが導いてしまえるもの 素朴集合論→Frege の初期公理的集合論
内包性の公理を認めているとラッセルのパラドックスが起こるらしい ラッセル集合は自分自身を含むような集合
ラッセルのパラドックスの証明
ラッセル集合を$ R として、
$ R = \{ A \mid A \in R, R\text{は集合}\}
が存在すると仮定すると、
$ R∈R と仮定 → 定義より $ R∉R (矛盾)
$ R \notin R と仮定 → 定義より $ R \in R (矛盾)
$ \lnot \exist y \forall x(x \in y \leftrightarrow x \notin x)
読み方
1. $ x \notin x
「x は自分自身の要素ではない」
2. 同値関係：$ x \in y \leftrightarrow x \notin x 「x が y の要素である ⟺ x は自分自身の要素ではない」
3. 全称量化：$ \forall x(x \in y \leftrightarrow x \notin x)
「すべての xについて、$ x∈y と$ x \notin x が同値である」
つまり「y は『自分自身を要素として含まない集合』全体からなる集合」
4. 存在量化の否定：$ \lnot \exists y \forall x(\ldots)
¬∃y∀x(…)「そのようなyは存在しない」
全体の意味
「自分自身を要素として含まないすべての集合を集めた集合」は存在しない
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ラッセル集合とは，それ自身を要素として含むような集合のことであ
るとする．すなわち，X ∈ X であるような集合 X のことをラッセ
ル集合とよぶことにする．さて，M を，ラッセル集合でないような
集合の集合であるとしよう1 ．このとき，M 自身はラッセル集合だろ
うか？もし M がラッセル集合だとすると，ラッセル集合の定義より
M ∈ M である．しかし，これは M の元はラッセル集合ではない
ことと矛盾している．ところが，M をラッセル集合ではないと仮定
してみても，M はラッセル集合でないような集合の集合だったから，
M ∈ M であり，したがって M はラッセル集合となる．
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ここら辺の矛盾の解決に関連する公理系・集合論
クラスのある集合論
VGB set theory
型理論方面でも似たようなパラドックスがある
学ぶための良さそうな文献
構成的型理論によるラッセルのパラドックスの解決についての講義
いろいろな代替集合論を追う
確認用
Q. ラッセルのパラドックス
参考
メモ
調査用
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