MX値
#超超へやわけMX
MXを、nマス*mマスのへやに、分断禁・隣接禁を満たしながら入れられる黒マスの数の最大値とおく。
「MX値の上限」は、黒マスの数の最大値はこれより大きくならない、という値である。
(MX値の上限)=15なら、16個は無理。15個や14個は可能かもしれないが無理かもしれない。という意味。
また、MX値の下限は、最大値はこれより小さくならない（なぜならその個数を入れる具体例があるから）という値である。
(MX値の下限)=13なら、13個入れる解が発見済みであるという意味。
以下、xより大きくない最大の整数(xの小数点以下切り捨て)をfloor(x)で表す。
証明はそれぞれのリンク先を参照。
四方を壁に囲まれたへや (正方形盤面以外は未解決)
nxmにおいて、MX値の上限は、
(mn+k)/3
ただし、k=3(n,mが奇数),2(n,mが奇数と偶数),1(n,mが偶数と偶数)
黒マス最密充填のはなし 2020-04-05(SP1さん)
n=mのときMX値が確定済み。
0, 3 mod 6 のとき n^2 / 3 個 (例外として、n=3のとき、4個)
2, 4 mod 6 のとき (n^2 - 1) / 3 個
1, 5 mod 6 のとき (n^2 +2) / 3 個
0,1,2,3,4,5 mod 6のとき、ペナルティの余裕は2,1,3,3,3,1
0,2,3,4 mod 6 のとき floor(n^2/3)個 (n=3のとき除く)
1,5 mod 6 のとき floor(n^2/3)+1個 (n=3のとき含む) とも書ける。
角のへや
1xn
MX=floor(n/2)
2xn 角のへや_幅2
nを4で割ったあまりをpとおく。
p=0,1,2,3のとき、
b=0,1,2,2とし、
MX=floor(n/4)*3+b
3xn 角のへや_幅3
nを8で割ったあまりをpとおく。
p=0,1,2,3,4,5,6,7のとき、
b=0,2,2,4,5,6,7,8とし、
MX=floor(n/8)*9+b
5xn 角のへや_幅5
nを16で割ったあまりをpとおく。
p=0,1,2,3,4,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15のとき、
b=0,3,4,6,8,10,11,13,15,17,19,21,22,24,26,28とし、
MX=floor(n/16)*29+b
n,mがともに1,2,3,5以外の自然数のとき ペナルティへやわけ
MX=floor((((2n+1)(2m+1)+k)/4-1)/3)
ただしxの小数点以下切り捨てをfloor(x)で表す。
また、k=3(n,mが奇数と奇数),1(n,mが奇数と偶数),-1(n,mが偶数と偶数)
ペナルティは、((2n+1)(2m+1)+k)/4を3で割った余りが0,1,2のとき、3,1,2。
端のへや(未解決)
nxm, 辺に接する方をnとおく。
MX値の上限は((n+1)(2m+1)+k)/6
ただし、k=0(nが奇数),-1(nが偶数)
空中のへや
超へやわけMXのノート
1xnのへや
MX=floor((n+1)/2)
3xnのへや 空中のへや_幅3
nが4の倍数なら
MX=5n/4
それ以外の時
MX=floor(5(n+1)/4)
nxnで、非負整数kでn=2^k-1と書けるときのへや(n=1,3を含む) 空中のへや_打ち上げ花火
MX=((n+1)(n+1)-1)/3
以上のいずれも満たさない場合で、nxmのへや
nもmも奇数なら
MX=floor(((n+1)(m+1)-2)/3)
それ以外のとき
MX=floor(((n+1)(m+1)-3)/3)