雙圈
bicategory
對象或いは 0-胞 (0-cell) と呼ばれるものの集まり$ a,b,…\in Ob_B
0-胞$ aに於ける恆等 1-胞 を$ {\rm id}_aと書き、左右の單位律子と關係する
對象閒の射或いは 1-胞 (1-cell) と呼ばれるものの集まり$ f,g,…\in {\bf B}(a,b)
$ B(a,b)は 1-胞 を對象とし 2-胞 を射とする圈を成す。この圈での 2-胞 の合成を垂直合成 (vertical composition) と呼ぶ 2-胞$ f\Rarr_\eta g\Rarr_\theta h:a\to bの合成を圖式順で$ \eta;\theta:f\Rarr hと書く。垂直合成は圈$ {\bf B}(a,b)の結合律$ (\eta;\theta);\iota=\eta;(\theta;\iota)を滿たす 1-胞$ f:a\to bに於ける恆等 2-胞 を$ {\rm Id}_fと書き、圈$ {\bf B}(a,b)の單位律を滿たす、詰まり 2-胞$ \eta:f\Rarr gに對して$ {\rm Id}_f;\eta=\eta=\eta;Id_g 二つの 1-胞 の圈$ {\bf B}(a,b),$ {\bf B}(b,c)に雙函手$ {\bf B}(a,b)\times{\bf B}(b,c)\to{\bf B}(a,c)が有り、水平合成 (horizontal composition) と呼ぶ 1-胞$ a\to_f b\to_g cの合成を圖式順で$ f;g:a\to cと書く。これは雙函手に於ける對象閒の對應である 始域と終域を同じくする 1-胞$ f,g:a\to bの閒の 2-射或いは 2-胞 (2-cell) と呼ばれるものの集まり$ {\bf B}(f,g)
髯 (whiskering)
1-胞$ f,g:a\to b,$ h:b\to cと 2-胞$ \eta:f\Rarr gに對して左髯 (left whiskering) と呼ばれる 2-胞$ h\lhd\eta:f;h\Rarr g;hが存在するならば以下が成り立つ
反圖式順では$ h\lhd\eta:h\circ f\Rarr h\circ gと、「左」っぽく見える。反圖式順なのダルいから圖式順にしたいな…
商群 (quotient group) と同じ記號だなぁ。關係有るか無いか (多分無い) 商圈 (quotient category) ね…
1-胞$ f:a\to b,$ g:b\to cに對して$ g\lhd{\rm Id}_f={\rm Id}_{f;g}を滿たす
2-胞$ f\Rarr_\eta g\Rarr_\theta h:a\to bと 1-胞$ i:b\to cに對して$ (i\lhd\eta);(i\lhd\theta)=i\lhd(\eta;\theta)を滿たす
1-胞$ f:a\to b,$ g,h:b\to cと 2-胞$ \eta:g\Rarr hに對して右髯 (right whiskering) と呼ばれる 2-胞$ \eta\rhd f:f;g\Rarr f;hが存在するならば以下が成り立つ
1-胞$ f:a\to b,$ g:b\to cに對して$ {\rm Id}_g\rhd f={\rm Id}_{f;g}を滿たす
1-胞$ f:a\to bと 2-胞$ g\Rarr_\eta h\Rarr_\theta i:b\to cに對して$ (\eta\rhd f);(\theta\rhd f)=(\eta;\theta)\rhd fを滿たす
2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to b,$ \theta:h\Rarr i:b\to cに對して$ (\theta\rhd f);(i\lhd\eta)=(h\lhd\eta);(\theta\rhd g)を滿たす
單位律子 (unitor)
1-胞$ f:a\to bに對して左單位律子 (left unitor) と呼ばれる 2-胞$ \lambda_f:f;{\rm id}_b\Rarr fと逆左單位律子 (inverse left unitor) と呼ばれる 2-胞$ \lambda^{-1}_f:f\Rarr f;{\rm id}_bが存在し以下が成り立つ
2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bに對して$ ({\rm id}_b\lhd\eta);\lambda_g=\lambda_f;\etaを滿たす
1-胞$ f:a\to bに對して$ \lambda_f;\lambda^{-1}_f:f;{\rm id}_b\Rarr f;{\rm id}_b={\rm Id}_?=\lambda^{-1}_f;\lambda_f:f\Rarr fを滿たす
1-胞$ f:a\to bに對して右單位律子 (right unitor) と呼ばれる 2-胞$ \rho_f:{\rm id}_a;f\Rarr fと逆右單位律子 (inverse right unitor) と呼ばれる 2-胞$ \rho^{-1}_f:f\Rarr{\rm id}_a;fが存在し以下が成り立つ
2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bに對して$ (\eta\rhd{\rm id}_a);\rho_g=\rho_f;\etaを滿たす
1-胞$ f:a\to bに對して$ \rho_f;\rho^{-1}_f:{\rm id}_a;f\Rarr{\rm id}_a;f={\rm Id}_?=\rho^{-1}_f;\rho_f:f\Rarr fを滿たす
結合律子 (associator)
1-胞$ f:a\to b,$ g:b\to c,$ h:c\to dに對して結合律子と呼ばれる 2-胞$ \alpha_{f,g,h}:f;(g;h)\Rarr(f;g);hと逆結合律子 (inverse associator) と呼ばれる 2-胞$ \alpha^{-1}_{f,g,h}:(f;g);h\Rarr f;(g;h)が存在し以下が成り立つ
1-胞$ a\to_f b\to_g cと 2-胞$ \eta:h\Rarr i:c\to dに對して$ \alpha_{f,g,h};((\eta\rhd g)\rhd f)=(\eta\rhd(f;g));\alpha^{-1}_{f,g,i}を滿たす
1-胞$ f:a\to bと 2-胞$ \eta:g\Rarr h:b\to cと 1-胞$ i:c\to dに對して$ \alpha^{-1}_{f,g,i};((i\lhd\eta)\rhd f)=(i\lhd(\eta\rhd f));\alpha^{-1}_{f,h,i}を滿たす
2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bと 1-胞$ b\to_h c\to_i dに對して$ \alpha^{-1}_{f,h,i};((h;i)\lhd\eta)=(i\lhd(h\lhd\eta));\alpha^{-1}_{g,h,i}を滿たす
1-胞$ a\to_f b\to_g c\to_h dに對して$ \alpha_{f,g,h};\alpha^{-1}_{f,g,h}:f;(g;h)\Rarr f;(g;h)={\rm Id}_?=\alpha^{-1}_{f,g,h};\alpha_{f,g,h}:(f;g);h\Rarr (f;g);hを滿たす
1-胞$ a\to_f b\to_g\to cに對して$ \alpha^{-1}_{f,{\rm id}_b,g};(\rho_g\rhd f)=g\lhd\lambda_fを滿たす
1-胞$ a\to_f b\to_g c\to_h d\to_i eに對して$ (i\lhd\alpha^{-1}_{f,g,h});(\alpha^{-1}_{i,g;h,f};(\alpha^{-1}_{g,h,i}\rhd f))=\alpha^{-1}_{f;g,h,i};\alpha^{-1}_{f,g,h;i}を滿たす
單位律子と結合律子が恆等 2-胞$ \rm Idである時、雙圈を 2-圈 (2-category; strict 2-category) と呼ぶ