開集合・閉集合
全體集合を$ Xとして、部分集合の內の以下の規則で生成されるものを開集合と呼ぶ。開集合全ての集合を$ \cal Oと書く 全體集合$ X
無限個の結び$ \bigcup_{A\in\mathcal O}A
有限個の交はり$ A\cap B
開集合の補集合$ X\setminus O_{\in{\cal O}}を閉集合と呼ぶ 全體集合を$ Xとして、部分集合の內の以下の規則で生成されるものを閉集合と呼ぶ。閉集合全ての集合を$ \cal Cと書く 全體集合$ X
無限個の交はり$ \bigcap_{A\in\mathcal C}A
有限個の結び$ A\cup B
閉集合の補集合$ X\setminus C_{\in{\cal C}}を開集合と呼ぶ 全體集合を$ Xとして、部分集合から部分集合への函數$ \rm int:2^X\to 2^Xで以下を滿たすものを開核作用素と呼ぶ $ {\rm int}(A)\sube A縮小性質
$ {\rm int}({\rm int}(A))={\rm int}(A)冪等性
$ {\rm int}(A\cap B)={\rm int}(A)\cap{\rm int}(B)交はりを保存する
$ {\rm int}(X)=X空積を保存する
寫像$ fが$ f^{-1}({\rm int}(A))\sub{\rm int}'(f^{-1}(A))を滿たす場合、開核を保つと言ひ、開核作用素の閒の射と見做せる 開集合からも定義できる$ {\rm int}(A)\coloneqq\bigcup_{U\sube A,U\in\mathcal O}U $ A\sube Bならば$ {\rm int}(A)\sube{\rm int}(B)
必然$ \square Aの樣に振る舞ふ
全體集合を$ Xとして、部分集合から部分集合への函數$ \rm cl:2^X\to 2^Xで以下を滿たすものを閉包作用素と呼ぶ $ A\sube{\rm cl}(A)擴張性質
$ {\rm cl}({\rm cl}(A))={\rm cl}(A)冪等性
$ {\rm cl}(A\cup B)={\rm cl}(A)\cup{\rm cl}(B)結びを保存する
$ {\rm cl}(\varnothing)=\varnothing空和を保存する
寫像$ fが$ f({\rm cl}(A))\sub{\rm cl}'(f(A))を滿たす場合、閉包を保つと言ひ、閉包作用素の閒の射と見做せる 閉集合からも定義できる$ {\rm cl}(A)\coloneqq\bigcap_{A\sube U,U\in\mathcal C}U $ A\sube Bならば$ {\rm cl}(A)\sube{\rm cl}(B)
可能$ \lozenge Aの樣に振る舞ふ
內部 / 外部
內部 (interior)
$ S^i=(S^C)^e.
外部 (exterior)
全體集合$ Xと部分集合$ S,T\subseteq Xに對して外部作用素$ ^e:2^X\to 2^Xを以下の公理で定められる
$ \varnothing^e=X,$ S^e\subseteq S^C,$ S^e=((S^e)^C)^e,$ (S\cup T)^e=S^e\cap T^e
$ S^e=(S^C)^i.
境界 (frontier, boundary)
$ \partial S=X\setminus(S^i\cup S^e).
filter / ideal
filter
半順序$ (P,\le)の空集合でない部分集合$ F\sub P、$ F\ne\varnothingは以下を滿たすならば filter である $ \forall x,y_{\in F}\exist z_{\in F}(z\le x\land z\le y)。$ Fは filter 基である。$ Fは雙對順序が有向集合である $ \forall x_{\in F}\forall y_{\in P}(x\le y\to y\in F)。$ Fは上方集合 (upper set) である。$ Fは上に開いてゐる
束 (lattice)$ (L,\le)の空集合でない部分集合$ F\subset L、$ F\ne\varnothingは以下を滿たすならば filter である $ \forall x,y_{\in F}(x\land y\in F)。$ Fは有限囘の交はりで閉じてゐる
$ \forall x_{\in F}\forall y_{\in L}(x\le y\to y\in F)。$ Fは上方集合 (upper set) である。$ Fは上に開いてゐる
束準同型を filter への像に制限した寫像の逆像は空集合でないならば filter になる filter の集合は部分集合の關係$ \subseteqに依って順序集合を成し、この下界を超 filter (ultrafilter) と呼ぶ
元$ pを含む最小の filter を單項 filter$ \{x\in P|p\le x\}と呼び$ \uarr pと書く。$ pを生成元と呼ぶ
近傍系 (neighbourhood system)
近傍系
$ {\cal V}(x)\sub 2^Xは filter
$ \forall V_{\in{\cal V}(x)}(x\in V).
$ \forall V_{\in{\cal V}(x)}\exist W_{\in{\cal V}(x)}\forall y_{\in W}(V\in{\cal V}(y))冪等性
收束$ F\xrightarrow{\lim}x\coloneqq\mathcal V(x)\sub F
$ \mathcal V(x)=\{A|A\sub X,x\in X\setminus{\rm cl}(X\setminus A)\}.
$ {\rm cl}(A)=X\setminus\{x|x\in X,X\setminus A\in\mathcal V(x)\}.
有向點族 (net)
ideal
半順序$ (P,\le)の空集合でない部分集合$ I\sub P、$ I\ne\varnothingは以下を滿たすならば ideal である $ \forall x,y_{\in I}\exist z_{\in F}(x\le z\land y\le z).
$ \forall x_{\in I},y_{\in P}(y\le x\to y\in I).
束 (lattice)$ (L,\le)の空集合ではい部分集合$ I\subset L、$ I\ne\varnothingは以下を滿たすならば ideal である $ \forall x,y_{\in I}(x\lor y\in I).
$ \forall x_{\in I},y_{\in L}(y\le x\to y\in I).
ideal の集合は部分集合の關係$ \subseteqに依って順序集合を成し、この上界を極大 ideal (maximal ideal) と呼ぶ
量化
$ \forall xP(x)\land\forall xQ(x)\iff\forall x(P(x)\land Q(x)).
$ \forall x_{\in A}P(x)\land\forall x_{\in B}P(x)\iff\forall x_{\in A\cup B}P(x).
但し$ \forall x_{\in A}P(x)\coloneqq\forall x(x\in X\implies P(x))
無限連言$ \forall x_{\in X}P(x)\coloneqq\bigwedge_{x\in X}P(x)
$ \forall xP(x)\lor\forall xQ(x)\implies\forall x(P(x)\lor Q(x)).
$ \forall x_{\in A}P(x)\lor\forall x_{\in B}P(x)\implies\forall x_{\in A\cap B}P(x).
$ \exist xP(x)\lor\exist xQ(x)\iff\exist x(P(x)\lor Q(x)).
$ \exist x_{\in A}P(x)\lor\forall x_{\in B}P(x)\iff\exist x_{\in A\cap B}P(x).
無限選言$ \exist x_{\in X}P(x)\coloneqq\bigvee_{x\in X}P(x)
$ \exist xP(x)\land\exist xQ(x)\implies\exist x(P(x)\land Q(x)).
$ \exist x_{\in A}P(x)\land\forall x_{\in B}P(x)\implies\exist x_{\in A\cup B}P(x).