複素數っぽいもの集
2。二元數 (binarion)
二元數 (實數體上の二次元の單位的多元環) は、同型を除いて複素數・二重數・分解型複素數しか無い 分類
複素數$ \Complex(complex number) 積$ (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
複素平面を成す
行列表現$ x+yi\mapsto\begin{pmatrix}x & -y \\ y & x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
共軛は轉置へ$ z^*=z^\top=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}z\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
絕對値は行列式へ$ |z|^2={\rm det}z 複素解析が主要な應用である
p-進數$ {\Bbb Q}_p(p-adic number) での類似 p 進數體$ {\Bbb Q}_pの代數的閉包$ \Complex_p
超現複素數 (surcomplex number)
積$ (a+b\varepsilon)(c+d\varepsilon)=ac+(ad+bc)\varepsilon
乘法の冪零元$ \varepsilon^2=0
交代的複素數平面 (alternative complex plane) を成す
行列表現$ x+y\varepsilon\mapsto\begin{pmatrix}x & y \\ 0 & x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}
共軛は積へ$ z^*=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}z\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
絕對値は行列式へ$ |z|^2={\rm det}z forward mode 自動微分に應用が有る
$ f(x+\varepsilon)=f(x)+f'(x)\varepsilon.
分解型複素數 (split-complex number。雙曲數 (hyperbolic number))
積$ (a+bj)(c+dj)=(ac+bd)+(ad+bc)j
冪等元$ \frac{1\pm j}2
零因子$ (1+j)(1-j)=0
行列表現$ x+yj\mapsto\begin{pmatrix}x & y \\ y & x\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}
共軛は積へ$ z^*=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}z\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}
絕對値は行列式へ$ |z|^2={\rm det}z 3
超二重數 (hyper-dual number)$ x+x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2
$ f(x+\varepsilon_1+\varepsilon_2)=f(x)+f'(x)\varepsilon_1+f''(x)\varepsilon_2.
n 階の二重數$ x+x_1\varepsilon_1+\dots+x_n\varepsilon_n,$ \varepsilon_k\varepsilon_l=\begin{cases}\begin{pmatrix}k+l-1 \\ k-1\end{pmatrix}\varepsilon_{k+l} & k+l\le n\\ 0 & k+l>n \end{cases}
重複組合せ - Wikipedia$ _kH_l=\begin{pmatrix}k+l-1 \\ l\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}k+l-1 \\ k-1\end{pmatrix} 二重數は 2 階の二重數$ x+y\varepsilon_1 無限次元$ x+x_1\varepsilon_1+\dots,$ \varepsilon_k\varepsilon_l=\begin{pmatrix}k+l-1 \\ k-1\end{pmatrix}\varepsilon_{k+l}
4
行列表現$ a+bi+cj+dk\mapsto\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a\end{pmatrix}
二重四元數 (dual quaternion。雙對四元數)
分解型四元數 (split-quaternion。餘四元數)
分解型雙四元數 (split-biquaternion)
雙四元數 (biquaternion)
雙複素數 (bicomplex number)
雙曲四元數 (hyperbolic quaternion)
8
分解型八元數 (split-octonion)
雙八元數 (bioctonion)
16
一六元數$ \Bbb S(sedenion)
一般論
多元數 (hypercomplex number。超複素數)
多重複素數 (multicomplex number)
Segre の多重複素數
Fleury の多重複素數
Cayley-Dickson の構成法