行列式
determinant$ |A|,$ \det A
定義
.
$ |A|:=\sum_{\sigma\in S_n}\left({\rm sgn}~\sigma\prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}\right)
$ f:=\begin{pmatrix}f_1(x_1,\dots,x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1,\dots,x_n)\end{pmatrix}に對して$ J_f:=\frac{\partial f}{\partial{\bf x}}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}.
$ ij行列の函數$ f(X)に對して、$ J_f:=\frac{\partial f}{\partial X}=\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{pmatrix}
Jacobian$ |J_f|(Jacobian 行列式)
$ f(x_1,\dots,x_n)に對して$ H(f):=\nabla\otimes\nabla f=\begin{pmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_1} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_n}\end{pmatrix}
Hessian$ |H(f)|(Hessian 行列式)
行列の基本變形
行を入れ替へる ($ P_{i,j}を左から掛ける)。列を入れ替へる ($ P_{i,j}を右から掛ける)
行を 0 でない定數倍する ($ Q_{i,c}を左から掛ける)。列を 0 でない定數倍する ($ Q_{i,c}を右から掛ける)
或る行に他の行の定數倍を加へる ($ R_{i,j,c}を左から掛ける)。或る列に他の列の定數倍を加へる ($ R_{i,j,c}を右から掛ける)
基本行列
$ P_{i,j}は單位行列$ Iの$ i行目と$ j行目を入れ替へた行列
$ Q_{i,c}は單位行列$ Iの$ (i,i)成分を$ cに置き換へた行列
$ R_{i,j,c}は單位行列$ Iの$ (i,j)成分を$ cに置き換へた行列
正則行列である