空閒上の函數環
代數は幾何の雙對である
作用素環論
函數解析
$ ({\cal O}\dashv{\rm Spec}):({\cal V}^{\bf C})^{\rm op}\xtofrom[\rm Spec]{\cal O}{\cal V}^{{\bf C}^{\rm op}}
geometry in nLab$ {\cal O}(X):c\mapsto{\cal V}^{{\bf C}^{\rm op}}(X,{\bf C}(\_,c)) algebra in nLab$ {\rm Spec}(A):c\mapsto({\cal V}^{\bf C})^{\rm op}({\bf C}(c,\_),A) 加法は點每の加法$ (f+g)(x):=f(x)+g(x)
乘法は點每の乘法$ (f\cdot g)(x):=f(x)\cdot g(x)
對合は複素共軛$ f^*(x):=(f(x))^*
scalar 倍$ (zf)(x):=zf(x)を考へて多元環にもなる 代數幾何→有理整數環$ \Z
非可換幾何→非可換環
ジョン・フォン・ノイマンによる作用素環論の創始において既に、作用素環は量子力學的な物理量に對する「座標」をあたへるための系として用ゐられてゐる。その後ゲルファント・ナイマルクの定理などを通じて可換な作用素環が古典的な幾何學の對象に對應してをり、非可換な作用素環論にも數々の類似が存在することや、古典的な理論の枠組みでは病的とも見なされるやうな對象が非可換な作用素環によって取り扱へることが認識されるやうになった。
アラン・コンヌによる非可換幾何學の硏究で用ゐられた技法の一部はより古い理論、例へばエルゴード理論にたどることができる。閉部分群による商として得られる等質空閒への作用の類推から、任意のエルゴード的群作用を假想的な部分群と見なすといふジョージ・マッケイによる發想などが積極的に利用されてゐる。 Jean-Pierre Serre "Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique" 1956