正規分布
normal distribution。Gaussian 分布 (Gaussian distribution)$ N(\mu,\sigma^2)
分布$ N(x|\mu,\sigma^2)の確率密度函數$ \frac 1{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
累積分布函數$ \frac 1 2\left(1+{\rm erf}\left(\frac{x-\mu}{\sqrt{2\sigma^2}}\right)\right)
標準正規分布$ N(x|0,1)の確率密度函數$ \frac 1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}
對數尤度$ L(\mu,\sigma^2|x)=-\frac 1 2\log(2\pi)-\frac 1 2\log\sigma-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma}
$ N({\bf x}|\mu,\sigma^2)=\frac 1{\sqrt{(2\pi)^n|V|}}e^{-({{\bf x}-{\bf \mu}})\top V^{-1}({{\bf x}-{\bf\mu}})}
對數尤度$ L({\bf\mu},V|{\bf x})=-\frac n 2\log(2\pi)-\frac 1 2\log|V|-({{\bf x}-{\bf \mu}})\top V^{-1}({{\bf x}-{\bf\mu}})
K 混合 n 次元の混合正規分布 (normal mixture model)
$ \sum_{k=1}^K\pi_k N({\bf x}|\mu_k,\sigma_k^2)
Gaussian 函數
$ ae^{-\frac{(x-b)^2}{2c^2}}
$ e^{-x^2}
逆函數
積分
$ \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}dx=\sqrt\pi
$ {\rm erf}(x)=\frac 2{\sqrt\pi}\int_0^x e^{-t^2}dt=\frac{2x}{\sqrt\pi}{_1F_1}\left(\begin{matrix}\frac 1 2 \\ \frac 3 2\end{matrix};-x^2\right)
中心極限定理
母集団の平均が$ \mu、標準偏差が$ \sigmaであれば、母集団の分布に關はらず 部分和$ S_n=\sum_{i=1}^n X_iは正規分布$ N(n\mu,n\sigma^2)に分布收束する 標本平均$ \bar {X_i}=\frac{S_n}nは正規分布$ N\left(\mu,\frac{\sigma^2}n\right)に分布收束する 標準誤差 (standard error)
micro な全過程を考へれば宇宙・世界は亂步かもしれぬ 誤差分布$ f(x|0,1,1)=N(x|0,1)
誤差分布 - Wikipedia (generalized normal distribution。generalized Gaussian distribution。symmetric generalized normal distribution。exponential power distribution。generalized error distribution)