有界型空閒←粗空閒←→一樣空閒→位相空閒
有界型空閒 (bornological space。界相空閒) 集合$ Xに對して、以下で有界集合系$ \cal Bを定め、組$ (X,{\cal B})を有界型空閒と呼ぶ $ Xの部分集合の族$ {\cal B}\subseteq 2^Xは以下を滿たせば有界集合系 (有界構造 (bounded structure)。bornology。界相構造) と呼ぶ。$ \cal Bの元を有界集合 (bounded set) と呼ぶ
$ B\in{\cal B}\supset\forall C_{\subseteq X}(C\subseteq B\supset C\in{\cal B})
$ B,C\in{\cal B}\supset B\cup C\in{\cal B}
有界型空閒$ (X,{\cal B}_X),(Y,{\cal B}_Y)の閒の寫像$ f:X\to Yが以下を滿たせば有界寫像 (bounded map) であると言ふ $ \forall B_{\in{\cal B}_X}\exist C_{\in{\cal B}_Y}(C=\{f(x)|x\in B\})
集合$ Xに對して、以下で粗構造$ \cal Eを定め、組$ (X,{\cal E})を粗空閒と呼ぶ $ X\times Xの空でない部分集合の族$ {\cal E}\subseteq 2^{X\times X}が以下を滿たせば粗構造 (coarse structure) と呼ぶ。$ \cal Eの元を近緣 (entourage。制禦集合 (controlled set)) と呼ぶ
$ \Delta_X:=\{(x,x)|x\in X\}\in{\cal E}
$ E,F\subseteq X\times Xに對して$ E\circ Fを$ E\circ F:=\{(x,z)|\exist y_{\in X}((x,y)\in E\land(y,z)\in F)\}で定める。$ E,F\in{\cal E}\supset E\circ F\in{\cal E}
$ E\subseteq X\times Xに對して$ E^{-1}を$ E^{-1}:=\{(y,x)|(x,y)\in E\}で定める。$ E\in{\cal E}\supset E^{-1}\in{\cal E}
$ E\in{\cal E}\supset\forall F_{\subseteq X\times X}(F\subseteq E\supset F\in{\cal E})
$ E,F\in{\cal E}\supset E\cup F\in{\cal E}
粗空閒$ (X,{\cal E}_X),(Y,{\cal E}_Y)の閒の寫像$ f:X\to Yが以下を滿たせば bornologous (coarsely uniform) であると言ふ $ \forall E_{\in{\cal E}_X}\exist F_{\in{\cal E}_Y}(F=\{((f(x_1),f(x_2))|x_1,x_2\in X\})
集合$ Xに對して、以下で一樣構造$ \cal Uを定め、組$ (X,{\cal U})を一樣空閒と呼ぶ $ X\times Xの空でない部分集合の族$ {\cal U}\subseteq 2^{X\times X}が以下を滿たせば一樣構造 (uniform structure。uniformity) と呼ぶ。$ \cal Uの元を近緣 (entourage) と呼ぶ
前一樣構造 (preuniformity) である
$ \forall U_{\in{\cal U}}(\Delta_X:=\{(x,x)|x\in X\}\subseteq U)
$ U,V\subseteq X\times Xに對して$ U\circ Vを$ U\circ V:=\{(x,z)|\exist y_{\in X}((x,y)\in U\land (y,z)\in V)\}で定める。$ \forall U_{\in{\cal U}}\exist V_{\in{\cal U}}(V\circ V\subset U)
$ U\subseteq X\times Xに對して$ U^{-1}を$ U^{-1}:=\{(y,x)|(x,y)\in U\}で定める。$ U\in{\cal U}\supset U^{-1}\in{\cal U}
$ U\in{\cal U}\supset\forall V_{\subseteq X\times X}(U\subseteq V\supset V\in{\cal U})
$ U,V\in{\cal U}\supset U\cap V\in{\cal U}
一樣空閒$ (X,{\cal U}_X),(Y,{\cal U}_Y)の閒の寫像$ f:X\to Yが以下を滿たせば一樣連續 (uniformly continuous) であると言ふ $ \forall V_{\in{\cal U}_Y}\exist U_{\in{\cal U}_X}(U=\{(x_1,x_2)|x_1,x_2\in X,(f(x_1),f(x_2))\in V\})
集合$ Xに對して、以下で近傍系$ \cal Nを定め、組$ (X,{\cal N})を位相空閒と呼ぶ $ Xの部分集合の族$ {\cal N}\subseteq 2^Xは以下を滿たせば近傍系 (neighbourhood system。neighbourhood filter。位相構造 (topology)) と呼ぶ。$ \cal Nの元を近傍 (neighborhood) と呼ぶ
元$ x_{\in X}の近傍系$ {\cal N}(x)\subseteq 2^X
$ \forall N_{\in{\cal N}(x)}(x\in N)
$ \forall N_{\in{\cal N}(x)}\exist M_{\in{\cal N}(x)}\forall y_{\in M}(N\in{\cal N}(y))
$ N\in{\cal N}(x)\supset\forall M_{\subseteq X}(N\subseteq M\supset M\in{\cal N}(x))
$ N,M\in{\cal N}(x)\supset N\cap M\in{\cal N}(x)
近傍系$ {\cal N}:=\bigcup_{x\in X}{\cal N}(x)
位相空閒$ (X,{\cal N}_X),(Y,{\cal N}_Y)の閒の寫像$ f:X\to Yが以下を滿たせば連續 (continuous。各點連續。連續函數) であると言ふ $ \forall N_{\in{\cal N}_Y(f(x))}\exist M_{\in{\cal N}_X(x)}(f(M)\subseteq N)