射の分解
寫像の標準分解
寫像$ f:X\to Yは、$ X\xtwoheadrightarrow{\pi}X/\sim_f\xrightarrow{\varphi}{\rm im}(f)\xhookrightarrow{\iota}Yと分解できる
集合$ X/\sim_fは、逆像$ f^{-1}(y):y\mapsto\{x|x\in X,f(x)=y\}によって定まる同値關係$ x_1\sim_f x_2\iff f(x_1)=f(x_2)による同値類$ X/\sim_f:=\{f^{-1}(y)|y\in{\rm im}(f)\} 寫像$ \pi:X\twoheadrightarrow X/\sim_f,x\mapsto\{x'|x'\in X,f(x')=f(x)\}は全射になる 各要素$ x\in Xに$ x\in f^{-1}(y)となる集合$ f^{-1}(y)\subseteq Xが一意に存在する 寫像$ \varphi:X/\sim_f\to{\rm im}(f),f^{-1}(y)\mapsto yは全單射になる 寫像$ \iota:{\rm im}(f)\hookrightarrow Y,y\mapsto yは單射になる 像 (im)$ {\rm im}(f)\subseteq Yからの埋め込み寫像 寫像$ h:X\to Zは、全射と單射とに$ X\xtwoheadrightarrow{f}Y\xhookrightarrow{g}Zと分解できる $ h^{-1}(z):z\mapsto\{x|x\in X,h(x)=z\}として$ Y=X/\sim_h:=\{h^{-1}(z)|z\in{\rm im}(h)\}逆像による同値類 寫像$ f:x\mapsto\{x'|x'\in X,h(x')=h(x)\}は全射になる 寫像$ g:h^{-1}(z)\mapsto zは單射になる 短完全列$ A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow Cとは、全射と單射の順が逆だね 有限分解
非輪狀分解