圈の大きさ
小さい (small)
圈$ \bf Cが小さいとは、$ |{\bf C}|と$ {\rm Hom}_{\bf C}とが共に集合である事を言ふ 圈$ \bf Cが局所的に小さいとは、全ての對象$ \forall a,b_{\in|{\bf C}|}に對して Hom$ {\bf C}(a,b):=\{f|f:a\to b\}が集合である事を言ふ この時$ {\bf C}(a,b)を Hom 集合 (Hom set。射集合) と呼ぶ。$ {\rm Hom}_{\bf C}(a,b)とも書く
通常の圈は集合の直積を monoid 演算として備へた集合の圈$ ({\bf Set},\times,\{\cdot\})で豐饒化された圈である。 monoidal 圈$ ({\bf Set},\times,\{*\})に於いて$ {\bf C}(a,b)\times{\bf C}(b,c)={\bf C}(a,c)と成る事を言ふ 大きい (large)
局所表示可能圈 (locally presentable category) $ \lambda-表示可能な對象 ($ \lambda-presentable object)
compact 對象 (compact object。finitly presentable object) 局所$ \lambda-表示可能圈 (locally$ λ-presentable category)
以下、ZFC 集合論のもとで大きな圏を「局所表示可能（locally presentable）」として扱うための定義と、そこに現れる正則基數との関係をまとめます。 ⸻
1. $ λ-表示可能（$ λ-presentable）オブジェクト
• ある正則基數$ \lambdaに対し、圈 $ \mathcal{C} の対象 $ A が $ λ-表示可能 であるとは、Hom 函手 $ \mathcal{C}(A,-)\;:\;\mathcal{C}\;\longrightarrow\;\mathbf{Set}
が $ λ-フィルター余極限（$ λ-directed colimit）を保存することをいう。
すなわち、任意の $ λ-フィルター族 $ (X_i)_{i\in I} に対して
$ \displaystyle\mathcal{C}\bigl(A,\varinjlim_i X_i\bigr)\cong \varinjlim_i\mathcal{C}(A,X_i) が成り立つ。 
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2. 局所 $ λ-表示可能圏（locally $ λ-presentable category）
圏 $ \mathcal{C} が 局所 $ λ-表示可能 であるとは、以下を満たすこと：
1. 小余完備性：$ \mathcal{C} は全ての小余極限（コリミット）を持つ。
2. 生成条件：$ \mathcal{C} において λ-表示可能な対象からなる小集合 $ S\subseteq{\rm Ob}(\mathcal{C}) が存在し、任意の対象 $ X がその集合による $ λ-フィルター余極限で表せる：
$ X\;\cong\;\varinjlim_{i\in I}S_i,\quad S_i\in S.
すなわち、$ \mathcal{C} は小さなデータ（$ λ-被指標可能オブジェクト）から$ λ-フィルター余極限をとることで「生成」される。 
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3. 局所表示可能圈（locally presentable category） 圈 $ \mathcal{C} が 局所表示可能 であるとは、 ある 正則基數 $ λ が存在して $ \mathcal{C} が局所 $ λ-表示可能である ことをいう。
• すなわち、到達可能（accessible）かつ小余完備性（cocomplete）を併せ持つ圈である。 • 無限正則基數 $ λ を選べば、$ λ-到達可能かつ小余完備であることが局所表示可能の同値条件となる。  ⸻
• 正則基數 $ λ：共終數や到達可能性の議論と同様に、$ λ が正則であることが「$ λ-表示可能」「$ λ-フィルター余極限」の性質を保証する鍵。 • 局所表示可能圈の要件は「ある正則 な$ λ に対して…」と述べられるため、どの $ λ を選ぶかがその圈の“サイズ”や“複雑さ”を測る尺度になる。 • 小さな生成集合を $ λ-表示可能オブジェクトでとることで、巨大な圏も“$ λ-フィルター余極限”という制御された構成法で扱えるようになる。 
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到達可能圈 (accessible category) 以下、Wikipedia の定義をもとにまとめます。
• $ κ-到達可能圈（$ κ-accessible category） 1. 圏 $ \mathcal{C} はすべての $ κ-フィルター余極限（$ κ-directed colimits）を持つ。
2. $ \mathcal{C} 内に $ κ-表示可能（$ κ-presentable）対象からなる集合 $ P が存在し、任意の対象 $ X は $ P の対象の $ κ-フィルター余極限として表せる。
以上を満たすとき、$ \mathcal{C} を $ κ-到達可能圈 という。  • 到達可能圈（accessible category） ある無限正則基數 $ κ が存在して $ \mathcal{C} が $ κ-アクセス可能であるならば、その $ \mathcal{C} を 到達可能圈 という。  • 留意点
• 到達可能圈は「ある $ κ について $ κ-アクセス可能である」ことのみを要求し、小余完備性（すべての小余極限の存在）は必要としない。 • 小余完備性も併せ持つ場合には、同じ $ κ に対して 局所表示可能圈（locally presentable category）と呼ばれる。  到達可能函手（accessible functor）は、到達可能圈同士の間で「ある大きさの濾過コリミットを保存する」ような函手を指します。具体的には次のように定義されます。 ある無限正則基數 $ κ に対し、両端の圈 C, D がともに $ κ-到達可能（$ κ-accessible）であるとき、函手 $ F\colon C \;\longrightarrow\; D
が $ κ-到達可能 であるとは、$ C におけるすべての $ κ-有向餘極限（$ κ-directed colimit）を保存すること、すなわち
$ F\bigl(\varinjlim_{i\in I}X_i\bigr)\;\cong\;\varinjlim_{i\in I}F(X_i)
が任意の κ-有向図 $ (X_i)_{i\in I} について成り立つことをいいます。 
さらに、ある正則基數 $ κ が存在して $ F が $ κ-到達可能であるなら、単に 到達可能函手 と呼びます。 すなわち、「ある大きさのフィルター餘極限を保存する函手」が到達可能函手の本質です。   到達可能圈の圈$ \bf AccCat