位相空閒上の層
前層 (presheaf。préfaisceau) 位相空閒$ (X,{\cal O})について、以下を滿たす組$ ({\cal F},\rho)を前層と言ふ 以下から成る
開集合系から集合族への寫像$ {\cal F}:{\cal O}\to|{\bf Set}| 開集合系$ \cal Oを包含關係$ U\subseteq Vによって痩せた圈$ U\to Viff.$ U\subseteq Vと見做して、反變函手$ {\cal F}:{\cal O}^{\rm op}\to{\bf Set}と見做してもよい。制限寫像についての條件は勝手に滿たされる 對象部分$ {\cal F}:U\mapsto{\cal F}(U)
射部分$ {\cal F}:(U\subset V)\mapsto\rho_U^V
開集合$ U,V\in{\cal O},$ U\subset Vに對して、制限寫像 (restriction map)$ \rho_U^V:{\cal F}(V)\to{\cal F}(U)が定まる $ {\cal F}(\varnothing)=\varnothing
$ \rho_U^U={\rm id}_U
開集合$ U,V,W\in{\cal O}が$ U\subset V\subset Wならば、$ \rho_U^W=\rho_V^W;\rho_U^V $ U\xrightarrow{\subset}V\xrightarrow{\subset}Wが$ {\cal F}(U)\xleftarrow{\rho_U^V}{\cal F}(V)\xleftarrow{\rho_V^W}{\cal F}(W)に移る
任意の開集合$ U\in{\cal O}の任意の開被覆$ U=\bigcup_{i\in I}U_iが以下を滿たす 既約性條件。任意の$ s,t\in{\cal F}(U)と$ U_iについて、もし$ \rho_{U_i}^U(s)=\rho_{U_i}^U(t)ならば$ s=t
閉條件。任意の$ U_i,$ U_j,$ s_i\in{\cal F}(U_i),$ s_j\in{\cal F}(U_j)について、もし$ \rho_{U_i\cap U_j}^U(s_i)=\rho_{U_i\cap U_j}^U(s_j)ならば、$ \rho_{U_i}^U(s)=s_iとなる$ s\in{\cal F}(U)がただ一つ存在する
斷面 (section)$ f_u=\{\lang x,f_u(x)\rang\}\subset X_u\times{\cal F}(U) local section
開集合$ U,V\in{\cal O},$ U\subset Vと斷面 (section)$ s\in{\cal F}(V)について、$ s|_U:=\rho_U^V(s)を$ sの$ Uへの制限 (restriction) と呼ぶ 茎 (stalk)$ {\cal F}_x
點$ x\in Xの開近傍$ U\in{\cal O}(X),$ x\in U全體の成す集合$ {\frak R}_xを考へる。$ {\frak R}_xに包含關係の逆の順序$ U\ge Viff.$ U\subseteq Vを入れる。歸納極限$ F_x:=\lim_{\overrightarrow{x\in U}}{\cal F}(U)を$ x上の茎と呼ぶ $ \prod_{x\in X}{\cal F}_xで$ \lang{\cal F},\rho\rangを復元できる