横磁場イジングモデル

横磁場イジングモデルは以下のように定義される

$ H=J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1} + h\sum_{i=1}^nX_i

$ H：ハミルトニアン

$ J：モデルのパラメータ。例えば、最大カット問題では、$ -\frac{1}{2}である。

$ n：量子ビット数

$ h：横磁場の強さ

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式と回路の変換

$ e^{-i\delta X} = Icos(\delta)-iXsin(\delta)

$ = \left(\begin{matrix} cos(\delta)&0\\ 0&cos(\delta) \end{matrix}\right) + \left(\begin{matrix} 0&-isin(\delta)\\ -isin(\delta)&0 \end{matrix}\right)

$ = \left(\begin{matrix} cos(\delta)&-isin(\delta)\\ -isin(\delta)&cos(\delta) \end{matrix}\right)

$ = RX(2\delta)

実装

実装はIsingModelより参考。

結論、+z方向の全磁化の変動は以下のようになる。

https://scrapbox.io/files/667408c233c629001cef65cd.png

ちなみにコード中では、量子ビットが増えるほど全磁化の値が大きくなるので、全磁化の値を量子ビット数で割って-1~1の間に正規化している。

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補足

トロッター分解の利用

$ H=J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1} + h\sum_{i=1}^nX_i

$ e^{-iH\frac{t}{\hbar}} = e^{-i\left(J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1} + h\sum_{i=1}^nX_i\right)\frac{t}{\hbar}}

$ = \left( e^{-i\left(J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1}\right)\frac{t}{\hbar M}} e^{-i\left(h\sum_{i=1}^nX_i\right)\frac{t}{\hbar M}} \right)^M

また、tがパラメータなので、定数$ \hbarの存在はtに吸収されてしまう。そのため、$ \hbar=1としてしまって、以下のように立式する。

$ H = \left( e^{-i\left(J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1}\right)\frac{t}{M}} e^{-i\left(h\sum_{i=1}^nX_i\right)\frac{t}{M}} \right)^M

また、この式が量子アニーリングやQAOAに役立つ。

可視化で考える

あくまでイメージの正確ではない図だが、以下のようにZ軸・X軸の回転を組み合わせ、広範囲の探索を行う。

https://scrapbox.io/files/6673c107062b5e001c3533c9.png

繰り返すが、この図はあくまでニュアンスである。