トロッター分解
トロッター展開、リー・トロッター分解など。
行列の指数を、以下のようにうまく分解する
$ e^{\delta(A+B)} = e^{\delta A} \cdot e^{\delta B} + O(\delta^2)
$ \delta：小さな値（時間の微小な区間など）
$ A, B：交換しない2つの演算子
$ O(\delta^2) ：高次の項を示し、この場合は2次以上の誤差項を表します。
基本的な発想はいかに基づく。
$ e^{(A+B)t} \approx \left(e^{A\frac{t}{n}}e^{B\frac{t}{n}}\right)^n
しかし、これはあくまで近似。誤差あり
さらに高次なトロッター分解(鈴木トロッター)は以下。
$ e^{\delta(A+B)} = e^{\frac{\delta}{2} A} \cdot e^{\delta B} \cdot e^{\frac{\delta}{2} A} + O(\delta^3)
$ e^{(A+B)t} \approx \left(e^{A\frac{t}{2n}} e^{B\frac{t}{n}} e^{A\frac{t}{2n}} \right)^n
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何に使うのか？
$ |\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle($ \hbar=1)
また、トロッター分解より
$ e^{-iHt} = e^{-i\left(\sum_{i=1}^{n-1} Z_iZ_{i+1}\right)t}
$ = \left(e^{-i(Z_1Z_2+Z_2Z_3+\dots)\frac{t}{M}}\right)^M
$ \approx \left( e^{-i(Z_1Z_2)\frac{t}{M}} \cdot e^{-i(Z_2Z_3)\frac{t}{M}} \dots \right)^M