イジングモデル
磁性体のスピン相互作用を記述する統計力学のモデル。以下のように定義される。
$ H=J\sum_{i=1}^nZ_i Z_{i+1}
$ J：モデルのパラメータ。例えば、最大カット問題では、$ -\frac{1}{2}である。 $ n：量子ビット数
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今回は以下のイジングモデルについて計算する
$ H = \sum_{i=1}^n Z_iZ_{i+1} \quad (J=1)
手計算する
まず、手動で計算するなら、組み合わせは以下の通りである。
励起状態→$ Z_iZ_{i+1}=1
$ Z_i=1,Z_{i+1}=1
$ Z_i=-1,Z_{i+1}=-1
基底状態→$ Z_iZ_{i+1}=-1
$ Z_i=1,Z_{i+1}=-1
$ Z_i=-1,Z_{i+1}=1
そのため、$ |01010\dots\rangleや$ |10101\dots\rangleといった具合で、交互に0と1を繰り返す状態が最も安定的で、エネルギーが最小である。逆に、$ |000\dots\rangleや$ |111\dots\rangleのように全て0か1の状態は最もエネルギーが必要である。
量子ビットを利用する
前提確認
$ e^{-i \delta Z_i Z_{i+1}} = \text{CNOT}_{i, i+1} \cdot e^{-i \delta Z_{i+1}} \cdot \text{CNOT}_{i, i+1}
ちなみに、$ e^{-i\delta Z_{i}} = \left(\begin{matrix} e^{-i\delta}&0\\ 0&e^{i\delta} \end{matrix}\right) = RZ(2\delta)
今回は、+z方向の全磁化という物理量に着目して計算する。つまり何を行うかというと、系全体で$ |0\rangleと$ |1\rangleのどちらに状態が傾いているのかを-1~1で取得する。 式では、以下の通りである。
$ \frac{1}{n}\langle\psi| \sum_{i=1}^n Z_i |\psi\rangle
細かい話だが、あくまで-1~1に正規化するために$ \frac{1}{n}をしているだけである。この係数が何かを意味しているわけではない。
実行
結論、以下のようになる。
https://scrapbox.io/files/6673d61513eb39001c21b195.png
何が起きているかというと、「全磁化に変化がない (= $ |0\rangle,|1\rangleの変化がない)」ということである。
そもそもRZゲートは、Z軸周りの回転しか行わない。
つまり、このイジングモデルだと、時間発展における探索範囲は以下のみである。
https://scrapbox.io/files/6673b64e4ecc47001ca65043.png