CX-Z指数積分解の定理
以下の等式が成立する。
$ e^{-i \delta Z_i Z_{i+1}} = \text{CNOT}_{i, i+1} \cdot e^{-i \delta Z_{i+1}} \cdot \text{CNOT}_{i, i+1}
ControlledX Z Exponential Decompositionの略。
制御NOTゲート（CNOT）とパウリ-Z演算子（Z）のエクスポネンシャル形式の分解。
トロッター分解の項目で、証明を別ページに切り出したかったため、自分で勝手に作りました。 /icons/hr.icon
証明
以下のような2量子ビットの状態を考える。
$ |\psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|10\rangle +d|11\rangle \quad (1)
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(i)
$ e^{-i\delta Z_i Z_{i+1}}を(1)の両辺にかけて
$ e^{-i\delta Z_i Z_{i+1}}|\psi\rangle = ae^{-i\delta}|00\rangle + be^{i\delta}|01\rangle + ce^{i\delta}|10\rangle +de^{-i\delta}|11\rangle
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(ii)
$ \text{CNOT}_{i, i+1}を(1)の両辺にかけて
$ CNOT_{i,i+1}|\psi\rangle = a|00\rangle + b|01\rangle + c|11\rangle +d|10\rangle =|\psi_1\rangle
$ e^{-i\delta Z_{i+1}}をこれの両辺にかけて
$ CNOT_{i,i+1}|\psi_1\rangle = ae^{-i\delta}|00\rangle + be^{i\delta}|01\rangle + ce^{i\delta}|11\rangle +de^{-i\delta}|10\rangle = |\psi_2\rangle
$ \text{CNOT}_{i, i+1}を(1)の両辺にかけて
$ CNOT_{i,i+1}|\psi_2\rangle = ae^{-i\delta}|00\rangle + be^{i\delta}|01\rangle + ce^{i\delta}|10\rangle +de^{-i\delta}|11\rangle
なので、
$ CNOT_{i,i+1}e^{-i\delta Z_{i+1}}CNOT_{i,i+1}|\psi\rangle = ae^{-i\delta}|00\rangle + be^{i\delta}|01\rangle + ce^{i\delta}|10\rangle +de^{-i\delta}|11\rangle
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(i),(ii)より
$ e^{-i \delta Z_i Z_{i+1}} = \text{CNOT}_{i, i+1} \cdot e^{-i \delta Z_{i+1}} \cdot \text{CNOT}_{i, i+1} \quad (Q.E.D.)