三角関数
三平方の定理
$ a^2 + b^2 = c^2(cは斜辺)
特殊な直角三角形の比
$ 45^\circ:45^\circ:90^\circ = 1:1:\sqrt{2}
$ 30^\circ:60^\circ:90^\circ = 1:\sqrt{3}:2
三角関数
なぜ使うか？：図形計算の簡略化
直角三角形による定義は$ 0 < \theta < \frac{2}{\pi}まで。単位円による定義だと任意の実数まで拡張可能。 table:早見表
関数 日本語 覚え方
sine 正弦 SOH: Sine Opposite over Hypotenuse
cosine 余弦 CAH: Cosine Ajacent over Hypotenuse
tangent 正接 TOA: Tangent Opposite over Ajacent
cosecant 余割 sinの逆数
secant 正割 cosの逆数
cotangent 余接 tanの逆数
https://gyazo.com/ced7491491b22a32ad4cb60b5fd5e132
hypotenuse（斜辺）, opposite（対辺）, adjacent（隣辺）
$ \sin(\theta) = \frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}
$ \cos(\theta) = \frac{\mathrm{ajacent}}{\mathrm{hypotenuse}}
$ \tan(\theta) = \frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{ajacent}}
csc, sec, cotはそれぞれsin, cos, tanの逆数
asine acos, atanとの違い: arcは逆関数
$ \csc(\theta) = \frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{opposite}}
$ \sec(\theta) = \frac{\mathrm{hypotenuse}}{\mathrm{ajacent}}
$ \cot(\theta) = \frac{\mathrm{ajacent}}{\mathrm{opposite}}
Alfredで計算する場合: sin, cos, tan関数はdegreeをradianに変換して渡す $ 1\degree = \frac{\pi}{180}\ \mathrm{rad} =sin(θ * pi/180)
=cos(θ * pi/180)
=tan(θ * pi/180)
三角関数の還元公式
余角
$ \sin(\theta) = \cos(90\degree-\theta)
$ \cos(\theta) = \sin(90\degree-\theta)
$ \frac{1}{\tan(\theta)} = \tan(90\degree-\theta)
補角
$ \sin(\theta) = \sin(180\degree - \theta)
$ -\cos(\theta) = \cos(180\degree - \theta)
$ -\tan(\theta) = \tan(180\degree - \theta)
特殊な直角三角形から
https://gyazo.com/043777fdad713b57674466a7f0c9fbe4
有名角の形に直せば電卓なしで計算できる
$ 30\degree = \frac{\pi}{6}
$ 45\degree = \frac{\pi}{4}
$ 60\degree = \frac{\pi}{3}
有名角の三角比の覚え方
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/images/A14M0313/pic08.gif
加法定理
$ \sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \sin(b)\cos(a)
$ \sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \sin(b)\cos(a)
$ \cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)
$ \cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)
$ \tan(a+b) = \frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)}
$ \tan(a+b) = \frac{\tan(a)-\tan(b)}{1+\tan(a)\tan(b)}
倍角公式
$ \cos2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
$ \sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
$ \tan2\theta = \frac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}
逆三角関数
なぜ使うか？：直角三角形の2辺から角度θを求めることができる
$ \sin^{-1} (\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}) = \theta
$ \cos^{-1}(\frac{\mathrm{ajacent}}{\mathrm{hypotenuse}}) = \theta
$ \tan^{-1}(\frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{ajacent}}) = \theta
三角関数は複数の入力が同じ出力を持つため、本来は可逆関数ではない e.g. $ \sin(0) = \sin(\pi) = 0
逆関数を定義するためには定義域を制限する必要がある
https://gyazo.com/fe604c0266036ae8bf0e4b6b83532e84
Alfredで計算する場合、asin, acos, atan関数はradianで返ってくるので必要ならdegreeに変換 $ 1rad = \frac{180}{\pi}\degree
=asin(opposite/hypotenuse) * 180/pi
=acos(ajacent/hypotenuse)* 180/pi
=atan(opposite/ajacent) * 180/pi
正弦定理・余弦定理