連続 - mrsekut-p

連続

一般化(以下の3つは同じことを言っている)

$ f:A\rightarrow R^mが$ Aの点$ aで連続であるとは

任意に与えられた正数$ \epsilonに対して、適当に正数$ \deltaを取れば、

$ d^{(n)}(x,a)\lt\delta\Rightarrow d^{(m)}(f(x),f(a))\lt\epsilon

$ d^{(n)}は$ R^nにおける距離

$ Aは$ fの定義域

$ f(B^{(n)}(a;\delta))\subset B^{(m)}(f(a);\epsilon)

$ fが点$ aで連続であるとは、「任意の正数$ \epsilonに対して、適当に正数$ \deltaをとれば、$ aのδ近傍の像が$ f(a)の$ \epsilon近傍に含まれる」を満たすことである

写像の世界

$ p\in Xに対し、$ \lim_{x\rightarrow p}f(x)=f(p)が成り立つ時、$ fは$ pで連続であるという

$ fは$ X\in R^n,Y\in R^m としたときの$ f:X\rightarrow Y

ε-δ論法を用いた定義

$ \forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall x [ | a - x | < \delta \Rightarrow | f(x) - f (a) | < \epsilon]

位相の世界

写像$ f(x)が次式を満たすとき、$ f(x)は$ x=aで連続であるという

$ \forall E\in\mathbb{B}(f(a))\quad\exist D\in\mathbb{B}(a)\quad\forall x[x\in D\Rightarrow f(x)\in E]

$ \mathbb{B}(a)は$ aの開近傍全体の集合

参考

『数学ガール 6 ポアンカレ予想』.icon p.111

参考