転置を利用した可換性を証明するときのコツ
水平線の上下の一対一対応を利用する
問題設定
圏$ \mathscr{A}内の可換性を示したい
関手$ F(の逆)、または関手$ Gで写した圏$ \mathscr{B}内の可換性を示す
図の特徴
https://gyazo.com/3437f54199928472f24b028af5e76df3
左側の頂点、辺は全て$ \mathscr{A}の対象、射
赤の部分
右側の頂点、辺は全て$ \mathscr{B}の対象、射
青の部分
左右を接続する辺は関手$ F,Gのいずれか
緑の部分
手順
圏$ \mathscr{A}内の可換を示したい図を書く
$ Fまたは$ Gで$ \mathscr{B}に写す
ここでいくつかの候補があるので用いやすいものを選択する
例 $ GFB_1を写したものを考えたときに、
$ Fによって写したもの、$ Gによって写されたもの、の2通りが取れる
https://gyazo.com/192dfca53fbba9bac5bc6109963f695e https://gyazo.com/45cc33d4fd6094821fc0adda0bbf2ed8
$ \mathscr{B}内の可換を見ることで、自動的に$ \mathscr{A}のものも示される
示す流れ
示したいもの
$ B_1\to B_2\to B_3
=
$ B_1\to B_4\to B_3
転置関係により得られるもの
https://gyazo.com/13d05a6fb9245594c2f758e4ea1f56cf
成り立っているもの
赤=黄
実際に使って証明しているものの例
https://gyazo.com/4a3083bd1488d90832ddda104587f4f8
https://gyazo.com/b768458aab2a35371f22f7de640ab594