極限の延長としてのイコライザ

極限の延長としてのイコライザを考える

参考

下図のような圏$ Jを添字圏とした図式 (圏論)の極限がイコライザ

https://gyazo.com/db30c6b0b726ee2a7f49c5a3059ce020

圏$ \mathscr{A}への図式を考え、さらに錐を考える

錐や極限を完全に理解できている前提mrsekut.icon

関手$ Fの対応を色で示した

https://gyazo.com/ea4401eed099b93ade668765df052893

錐を考える

下図の$ (X, \{h,\ast\})が錐であってほしい

https://gyazo.com/809bfe5c70eef98f2728608142e9a71c

錐の射の条件として、上の2つの三角形が可換になることが求められる

式で書くなら以下の2式が両方成立してほしい

$ \ast=f\circ h

$ \ast=g\circ h

この2式から$ \astを消去すると$ f\circ h=g\circ h

この式を考えることで、$ \astの射が消えた図を考えても同等だということがわかる

逆に、この式から元の式も復元可能

話を戻して、錐は$ X以外にも条件を満たせば複数ありうる

例えば、同列に$ X,Y,Z,Lなどが存在する

https://gyazo.com/a10eb124e20493b624bea3ec35fac3c5

$ Lと$ X,Y,Zの異なる点は、$ Lへの射があること

つまり、$ Lは錐の圏を考えた際に終対象になる(後述)

この図から、本質的に同じことを言っている$ Y,Zを消去すると、よく見るイコライザの図になる

https://gyazo.com/3a15df579055a2cd20febbdc6a32b9fa

この図をちょっと整えることでよく見るイコライザの図になる

https://gyazo.com/a32dabbdee1cd64bf81c57bc208ab006

この$ Lが錐の圏を考えたときの終対象になり、極限になる

$ L=\lim_\leftarrow F